A forma geral da Lei de Gauss descreve como uma carga cria um campo elétrico em um material, bem como no vácuo:
onde
é a permissividade do material. (a) Uma folha com carga
distribuída uniformemente sobre sua área
é envolvida por um dielétrico. Demonstre que a folha cria um campo elétrico uniforme em pontos próximos com módulo
. (b) Duas folhas grandes de área
, com cargas opostas de mesmo módulo
, estão separadas por uma distância pequena
. Demonstre que as folhas criam um campo elétrico uniforme no espaço que as separam com módulo
. (c) Suponha que a placa negativa tenha um potencial igual a zero. Demonstre que a placa positiva está em um potencial Qd/Aɛ. (d) Demonstre que a capacitância do par de placas é dada por
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as quantidades indicadas:
- Lei de Gauss (forma geral):
onde
é a permissividade do meio.
-
Uma folha (placa) com carga total
distribuída uniformemente sobre sua área . -
Duas folhas grandes de área
, com cargas de mesmo módulo e sinais opostos e , separadas por distância pequena .
As perguntas são:
(a) Mostrar que a folha isolada cria, em pontos próximos, um campo elétrico uniforme de módulo .
(b) Mostrar que duas folhas com cargas opostas criam um campo uniforme entre elas de módulo .
(c) Supondo que a placa negativa tem potencial zero, mostrar que a placa positiva está no potencial .
(d) Determinar a capacitância do par de placas e mostrar que .
(a) Mostrar que a folha isolada cria, em pontos próximos, um campo elétrico uniforme de módulo
(b) Mostrar que duas folhas com cargas opostas criam um campo uniforme entre elas de módulo
(c) Supondo que a placa negativa tem potencial zero, mostrar que a placa positiva está no potencial
(d) Determinar a capacitância do par de placas e mostrar que
Observações úteis que vou usar (não é resolução ainda): definição de densidade superficial de carga
; escolha de superfícies gaussianas simples (cilíndricas/pílulas) por simetria; princípio da superposição de campos; definição de capacitância
.
Passo 2
(a) Campo de uma folha carregada — escolha da superfície gaussiana e simetria.
Explicação da ideia (passo-a-passo didático): uma única folha muito grande e com carga distribuída uniformemente tem simetria de translação nas direções do plano da folha e reflexão em relação ao plano. Isso implica que, em pontos próximos e longe das bordas, o campo elétrico é perpendicular ao plano da folha e tem mesma magnitude em ambos os lados. Para explorar essa simetria, usamos uma “pílula” cilíndrica (um cilindro muito fino cujo eixo é perpendicular à folha) como superfície gaussiana: um tampo em cada lado da folha e a superfície lateral.
Definir densidade superficial:
Aplicar Gauss com a pílula:
- Área de cada tampo da pílula:
(escolhida arbitrária, mas pequena o suficiente para ficar dentro da região onde a folha é praticamente infinita). - Fora da superfície lateral o campo é paralelo à lateral (por simetria), então a contribuição ao fluxo pela lateral é zero.
- O fluxo total atravessando os dois tampos é
, porque os vetores saem (ou entram) perpendicularmente nas duas faces com mesma magnitude .
Carga encerrada pela pílula:
Agora aplicar Gauss:
Cortar
e isolar
:
Substituir
:
Interpretação prática: o campo é uniforme e perpendicular à folha, com direção apontando para fora se a folha for positivamente carregada (e para dentro se negativa). Esse resultado vale “próximo” à folha, assumindo que as bordas são desprezíveis (folha muito extensa).
Passo 3
(b) Campo entre duas folhas com cargas opostas — superposição.
Primeiro, usar o resultado do item (a) para cada folha isolada. Para uma folha com densidade
o campo produzido tem magnitude
em cada lado e aponta para fora da folha se
.
Considere duas folhas paralelas separadas por pequena distância
:
- Placa positiva com densidade
. - Placa negativa com densidade
.
Análise por regiões (usar superposição):
- Região entre as placas: o campo devido à placa positiva aponta da placa positiva para fora (isto é, em direção à placa negativa). O campo devido à placa negativa aponta da região externa para a placa negativa, isto é, também em direção à placa negativa. Portanto, as contribuições se somam entre as placas. Magnitude total entre as placas:
Substituindo
:
- Regiões externas às duas placas (fora do par): os campos gerados por cada placa têm direções opostas e mesmas magnitudes, então se cancelam, resultando em campo nulo fora do par.
Conclusão do item (b): campo uniforme entre as placas igual a
.
Passo 4
(c) Diferença de potencial entre as placas — integração do campo.
Lembrete de fórmula de potencial elétrico: a diferença de potencial entre dois pontos
e
é
Escolher coordenadas para simplificar:
- Colocar a placa negativa em
e exigir . - Placa positiva em
. - Entre as placas o campo é uniforme com magnitude
e direção do positivo para o negativo (isto é, no sentido negativo do eixo ).
Calcular
:
- Para um deslocamento de
até , o elemento aponta no sentido positivo . - O produto escalar
(pois aponta em ). - Então
Como
, segue
Substituir
:
Portanto, a placa positiva está no potencial
quando a negativa está em zero.
Passo 5
(d) Capacitância do par de placas — definição e substituição.
Definição: capacitância
é a razão entre carga e diferença de potencial entre condutores:
Aqui
(do passo anterior). Então
Recordando
, pode-se escrever também
Interpretação física e dica para prova: a capacitância cresce com a área das placas e com a permissividade do meio entre elas; e diminui conforme a distância entre as placas aumenta. Para obter este resultado de forma rápida numa prova, lembrar: campo entre placas
, diferença de potencial
, e
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(com
)
(d)