M Um capacitor esférico cheio de ar é construído com carcaças interna e externa com raios de
e
, respectivamente. (a) Calcule a capacitância do dispositivo. (b) Qual diferença de potencial entre as esferas resulta em uma carga de
no capacitor?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
- Raios das carcaças (peguei estes valores do enunciado): raio interno
e raio externo . - Carga desejada para (b):
.
As perguntas são:
(a) Calcular a capacitância do capacitor esférico.
(b) Calcular a diferença de potencial entre as esferas que produz.
Passo 2
Conceito e fórmula a usar (aulas rápidas e intuitivas):
- Capacitância é definida como a razão entre a carga em uma das placas e a diferença de potencial entre as placas:
onde
é a capacitância (unidade
),
é a carga (unidade
) e
é a diferença de potencial (unidade
).
- Para um capacitor formado por duas esferas concêntricas de raios
(interno) e (externo) com , o campo elétrico na região entre elas ( ) devido à carga na esfera interna é igual ao campo de uma carga puntiforme:
onde
é a permissividade do vácuo (constante) e
é a distância radial do centro.
- A diferença de potencial entre as esferas é a integral do campo entre
e :
Calculemos essa integral para obter a relação
em função de
, e então
.
Passo 3
Calcular a diferença de potencial
a partir do campo:
- Fazer a integral:
- Assim
- Reescrevendo para
:
- Simplificando a fração:
Esta é a fórmula do capacitor esférico. Aqui:
-
é o raio interno (m), -
é o raio externo (m), -
é a permissividade do vácuo (use ).
Passo 4
Aplicar a fórmula com os valores numéricos (passo a passo, convertendo cm para m):
- Converter raios para metros (peguei os valores do enunciado):
- Calcular
e :
- Calcular a razão
:
- Agora a capacitância:
- Calcule numericamente (mostrar multiplicação):
- Em unidades práticas:
Passo 5
Calcular a diferença de potencial necessária para armazenar
:
- Converter
para coulombs (peguei o valor do enunciado):
- Usar
:
- Fazer a divisão:
- Em quilovolts:
Resposta
(a)
(b)
(b)