M Um capacitor esférico cheio de ar é construído com carcaças interna e externa com raios de 7,00 \mathrm{~cm} e 14,0 \mathrm{~cm}, respectivamente. (a) Calcule a capacitância do dispositivo. (b) Qual diferença de potencial entre as esferas resulta em uma carga de 4,00 \mu \mathrm{C} no capacitor?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
  • Raios das carcaças (peguei estes valores do enunciado): raio interno r_{a}=7{,}00\\ \mathrm{cm} e raio externo r_{b}=14{,}0\\ \mathrm{cm}.
  • Carga desejada para (b): Q=4{,}00\\ \mu\mathrm{C}.
    As perguntas são:
    (a) Calcular a capacitância do capacitor esférico.
    (b) Calcular a diferença de potencial entre as esferas que produz Q=4{,}00\\ \mu\mathrm{C}.

Passo 2

Conceito e fórmula a usar (aulas rápidas e intuitivas):
  • Capacitância é definida como a razão entre a carga em uma das placas e a diferença de potencial entre as placas:
C=\frac{Q}{V},
onde C é a capacitância (unidade \mathrm{F}), Q é a carga (unidade \mathrm{C}) e V é a diferença de potencial (unidade \mathrm{V}).
  • Para um capacitor formado por duas esferas concêntricas de raios a (interno) e b (externo) com a<b, o campo elétrico na região entre elas ( a<r<b) devido à carga Q na esfera interna é igual ao campo de uma carga puntiforme:
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q}{r^{2}},
onde \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo (constante) e r é a distância radial do centro.
  • A diferença de potencial entre as esferas é a integral do campo entre b e a:
V=\int_{b}^{a} E(r)\,dr=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}Q\int_{b}^{a}\frac{1}{r^{2}}\,dr.
Calculemos essa integral para obter a relação V em função de Q, e então C.

Passo 3

Calcular a diferença de potencial V a partir do campo:
  • Fazer a integral:
\int_{b}^{a}\frac{1}{r^{2}}\,dr=\left[-\frac{1}{r}\right]_{b}^{a}=-\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{b}-\frac{1}{a}.
  • Assim
V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}Q\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{a}\right)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}}\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{a}\right).
  • Reescrevendo para C=Q/V:
C=\frac{Q}{V}=\frac{Q}{\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}}\left(\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{a}\right)}=\frac{4\pi\varepsilon_{0}}{\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}}.
  • Simplificando a fração:
C=4\pi\varepsilon_{0}\,\frac{ab}{b-a}.
Esta é a fórmula do capacitor esférico. Aqui:
  • a é o raio interno (m),
  • b é o raio externo (m),
  • \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo (use \varepsilon_{0}=8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}).

Passo 4

Aplicar a fórmula com os valores numéricos (passo a passo, convertendo cm para m):
  • Converter raios para metros (peguei os valores do enunciado):
a=r_{a}=7{,}00\\ \mathrm{cm}=0{,}0700\\ \mathrm{m},\qquad b=r_{b}=14{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}140\\ \mathrm{m}.
  • Calcular ab e b-a:
ab=(0{,}0700)(0{,}140)=0{,}0098\\ \mathrm{m^{2}}=9{,}8\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{2}},
b-a=0{,}140-0{,}0700=0{,}0700\\ \mathrm{m}=7{,}0\times10^{-2}\\ \mathrm{m}.
  • Calcular a razão \dfrac{ab}{b-a}:
\frac{ab}{b-a}=\frac{0{,}0098}{0{,}0700}=0{,}14=1{,}4\times10^{-1}\\ \mathrm{m}.
  • Agora a capacitância:
C=4\pi\varepsilon_{0}\,\frac{ab}{b-a}=4\pi(8{,}854187817\times10^{-12})\times0{,}14.
  • Calcule numericamente (mostrar multiplicação):
4\pi\times0{,}14\approx1{,}759292\quad\Rightarrow\quad C\approx1{,}759292\times8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F}.
C\approx1{,}5595\times10^{-11}\\ \mathrm{F}=1{,}56\times10^{-11}\\ \mathrm{F}.
  • Em unidades práticas:
C\approx15{,}6\\ \mathrm{pF}\quad\bigl(1\\ \mathrm{pF}=10^{-12}\\ \mathrm{F}\bigr).

Passo 5

Calcular a diferença de potencial necessária para armazenar Q=4{,}00\\ \mu\mathrm{C}:
  • Converter Q para coulombs (peguei o valor do enunciado):
Q=4{,}00\\ \mu\mathrm{C}=4{,}00\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
  • Usar V=Q/C:
V=\frac{Q}{C}=\frac{4{,}00\times10^{-6}}{1{,}5595\times10^{-11}}\\ \mathrm{V}.
  • Fazer a divisão:
V\approx2{,}565\times10^{5}\\ \mathrm{V}\approx2{,}56\times10^{5}\\ \mathrm{V}.
  • Em quilovolts:
V\approx256\\ \mathrm{kV}.

Resposta

(a) C=1{,}56\times10^{-11}\\ \mathrm{F}=15{,}6\\ \mathrm{pF}
(b) V=2{,}56\times10^{5}\\ \mathrm{V}\approx256\\ \mathrm{kV}

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