Qual é a forma pontual (ou diferencial) da lei de Ohm? Explique o seu significado.

Passo 1

O enunciado pede a forma pontual (ou diferencial) da lei de Ohm, que relaciona em cada ponto do meio condutor a densidade de corrente elétrica ao campo elétrico aplicado. O conteúdo envolvido é eletromagnetismo em meios materiais, e vamos precisar dos conceitos de densidade de corrente J, campo elétrico E e condutividade elétrica sigma.

Passo 2

Lembrando que a densidade de corrente J( r) em um ponto r é definida como a corrente elétrica que atravessa uma área infinitesimal por unidade de área, e que E( r) é o campo elétrico nesse mesmo ponto. A condutividade sigma( r) caracteriza quão facilmente cargas se movem naquele material.

Passo 3

A forma diferencial da lei de Ohm é então
J( r) = sigma( r),E( r)
Em meios isotrópicos homogêneos, sigma é escalar; em meios anisótropos, sigma torna-se um tensor, e a lei fica
Ji( r) = sumjsigmaij( r),Ej( r)

Passo 4

Fisicamente, isso significa que, em cada ponto do condutor, a corrente que flui localmente é proporcional ao campo elétrico ali presente. A constante de proporcionalidade sigma mede a facilidade de condução: maior sigma, maior corrente para o mesmo E. Inversamente, definindo a resistividade rho=1/sigma, temos
E( r)=rho( r),J( r),
o que generaliza V=RI para cada ponto do material.

Resposta

J( r) = sigma( r),E( r),
com significado de relação local linear entre densidade de corrente e campo elétrico.

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