O que é o método de separação de variáveis (ou solução produto)? Em quais circunstâncias ele pode ser útil para resolver a equação de Laplace?

Passo 1

O enunciado pergunta o que é o método de separação de variáveis (ou solução produto) e em que situações ele é útil para resolver a equação de Laplace. O conteúdo aqui é análise de equações diferenciais parciais, e vamos precisar mostrar como, ao assumir uma solução fatorada, reduzimos a PDE a ODEs acopladas e quando essa estratégia funciona, isto é, para quais geometrias e condições de contorno.

Passo 2

A ideia do método de separação de variáveis é buscar uma solução da PDE na forma de produto de funções, cada uma dependendo de uma só variável. Por exemplo, em duas variáveis (x,y) supomos
u(x,y)=X(x),Y(y)
Esse palpite transforma a equação de Laplace
partial^2upartial x^2+partial^2upartial y^2=0
numa relação onde cada termo depende de uma única variável.

Passo 3

Substituindo u(x,y)=X(x)Y(y) em partialxxu+partialyyu=0 obtemos
X''(x),Y(y)+X(x),Y''(y)=0 Longrightarrow X''(x)X(x)=-Y''(y)Y(y)=lambda,
onde lambda é a constante de separação. Isso gera duas ODEs independentes:
X''(x)-lambda,X(x)=0, Y''(y)+lambda,Y(y)=0
Cada ODE pode ser resolvida impondo as condições de contorno apropriadas.

Passo 4

Depois de achar as soluções de X e Y (que geralmente são combinações de funções trigonométricas, exponenciais ou funções especiais), montamos a solução geral por superposição linear:
u(x,y)=sumnAn,Xn(x),Yn(y),
onde os coeficientes An são determinados para satisfazer condições de contorno não homogêneas ou iniciais.

Passo 5

Esse método funciona bem quando:
1. O domínio é \textlangle separável\textrangle , ou seja, suas fronteiras alinham-se com superfícies de coordenadas ortogonais (retângulos em coordenadas cartesianas, cilindros em coordenadas cilíndricas, esferas em coordenadas esféricas, etc.).
2. As condições de contorno são homogêneas ou podem ser transformadas em homogêneas em cada coordenada.
Nesses casos, cada ODE obtida via separação de variáveis admite uma família discreta de \textlangle modos\textrangle (autofunções) que formam base para expandir a solução completa.

Resposta

O método de separação de variáveis consiste em assumir uma solução produto u(x,y,dots)=X(x),Y(y),cdots, o que reduz a PDE a várias ODEs acopladas via constantes de separação. Ele é útil para resolver a equação de Laplace sempre que o domínio e as condições de contorno são compatíveis com coordenadas nos quais a equação é separável (domínios retangulares, cilíndricos ou esféricos com contornos alinhados a superfícies de coordenadas).

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