• De forma semelhante ao que fizemos em sala de aula para a equação do problema do calor e usando o método de separação de variáveis, encontre a solução formal (isto é, sem se preocupar com convergência) do problema
\begin{aligned} & u_{t t}=c^{2} u_{x x} \text { em }(0, L) \times(0, \infty) \\\ & u_{x}(0, t)=u_{x}(L, t)=0, \quad t \geq 0 \\\ & u(x, 0)=f(x), \quad x \in[0, L] \\\ & u_{t}(x, 0)=g(x), x \in[0, L] \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede a solução formal do problema de onda unidimensional
u_{tt} = c^{2}u_{xx}\quad\text{em }(0,L)\times(0,\infty),
com condições de contorno de Neumann
u_{x}(0,t)=u_{x}(L,t)=0
e condições iniciais
u(x,0)=f(x),\quad u_{t}(x,0)=g(x).
O conteúdo é separação de variáveis para a equação de onda, necessitando achar autovalores e autofunções do problema espacial e depois determinar os coeficientes da expansão de Fourier.

Passo 2

Assumimos u(x,t)=X(x)\,T(t). Substituindo em u_{tt}=c^{2}u_{xx} vem
X(x)\,T''(t)=c^{2}X''(x)\,T(t)
e dividindo por c^{2}X(x)T(t) obtemos
\frac{T''(t)}{c^{2}T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda
com \lambda constante de separação. Assim temos os dois ODEs
X'' + \lambda X=0, \qquad T'' + c^{2}\lambda T=0.

Passo 3

Resolvendo o problema espacial
X'' + \lambda X=0,\quad X'(0)=X'(L)=0,
sabemos que as condições de Neumann geram os autovalores
\lambda_{n}=\Bigl(\tfrac{n\pi}{L}\Bigr)^{2},\quad n=0,1,2,\dots
com autofunções normalizadas (até constante)
X_{0}(x)=1, \qquad X_{n}(x)=\cos\!\bigl(n\pi x/L\bigr)\quad(n\ge1).

Passo 4

Para cada \lambda_{n} o problema temporal é
T'' + c^{2}\lambda_{n}T=0.
Para n=0 temos \lambda_{0}=0 e
T_{0}(t)=A_{0}+B_{0}\,t.
Para n\ge1 obtemos oscilações
T_{n}(t)=A_{n}\cos\!\bigl(c\,n\pi t/L\bigr) +B_{n}\sin\!\bigl(c\,n\pi t/L\bigr).

Passo 5

A solução geral é a soma dos modos n=0,1,2,\dots:
u(x,t) = T_{0}(t)\,X_{0}(x) +\sum_{n=1}^{\infty}T_{n}(t)\,X_{n}(x).
Substituindo X_{n} e T_{n}
u(x,t) = A_{0} + B_{0}\,t +\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[ A_{n}\cos\!\bigl(c\,n\pi t/L\bigr) +B_{n}\sin\!\bigl(c\,n\pi t/L\bigr) \Bigr]\cos\!\bigl(n\pi x/L\bigr).

Passo 6

Impondo as condições iniciais:
  1. Em t=0,
u(x,0)=f(x) \;=\;A_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\cos\!\bigl(n\pi x/L\bigr).
Isso é a expansão em cossenos de f, logo
A_{0}=\frac{1}{L}\int_{0}^{L}f(x)\,dx, \qquad A_{n}=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\cos\!\bigl(n\pi x/L\bigr)\,dx\quad(n\ge1).
  1. Em t=0,
u_{t}(x,0)=g(x) \;=\;B_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}B_{n}\,\frac{c\,n\pi}{L}\cos\!\bigl(n\pi x/L\bigr).
Analogamente,
B_{0}=\frac{1}{L}\int_{0}^{L}g(x)\,dx, \qquad B_{n}=\frac{2}{c\,n\pi}\int_{0}^{L}g(x)\cos\!\bigl(n\pi x/L\bigr)\,dx\quad(n\ge1).

Resposta

u(x,t) = \frac{1}{L}\int_{0}^{L}f(\xi)\,d\xi +\Bigl(\tfrac{1}{L}\int_{0}^{L}g(\xi)\,d\xi\Bigr)\,t +\sum_{n=1}^{\infty} \Biggl[ \Bigl(\tfrac{2}{L}\!\int_{0}^{L}f(\xi)\cos\!\tfrac{n\pi \xi}{L}d\xi\Bigr) \cos\!\tfrac{c\,n\pi t}{L} \;+\; \Bigl(\tfrac{2}{c\,n\pi}\!\int_{0}^{L}g(\xi)\cos\!\tfrac{n\pi \xi}{L}d\xi\Bigr) \sin\!\tfrac{c\,n\pi t}{L} \Biggr]\cos\!\tfrac{n\pi x}{L}.

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