- De forma semelhante ao que fizemos em sala de aula para a equação do problema do calor e usando o método de separação de variáveis, encontre a solução formal (isto é, sem se preocupar com convergência) do problema
Passo 1
O enunciado pede a solução formal do problema de onda unidimensional
com condições de contorno de Neumann
e condições iniciais
O conteúdo é separação de variáveis para a equação de onda, necessitando achar autovalores e autofunções do problema espacial e depois determinar os coeficientes da expansão de Fourier.
Passo 2
Assumimos
. Substituindo em
vem
e dividindo por
obtemos
com
constante de separação. Assim temos os dois ODEs
Passo 3
Resolvendo o problema espacial
sabemos que as condições de Neumann geram os autovalores
com autofunções normalizadas (até constante)
Passo 4
Para cada
o problema temporal é
Para
temos
e
Para
obtemos oscilações
Passo 5
A solução geral é a soma dos modos
:
Substituindo
e
dá
Passo 6
Impondo as condições iniciais:
- Em
,
Isso é a expansão em cossenos de
, logo
- Em
,
Analogamente,