• Encontre a solução dos seguintes problemas de corda com extremidades fixas:
    b) u_{t}=9 u_{x x}, \operatorname{em}(0, \pi) \times(0, \infty);
    u(0, t)=u(\pi, t)=0, t \geq 0 ;
    u(x, 0)=\sin (4 x), \quad x \in[0, \pi]
    u_{t}(x, 0)=\sin (2 x), \quad x \in[0, \pi].

Passo 1

O enunciado trata da vibração de uma corda de comprimento \pi com extremidades fixas, descrita pela equação da onda
u_{tt}=9\,u_{xx},\quad 0<x<\pi,\;t>0,
com condições de contorno
u(0,t)=0,\quad u(\pi,t)=0,
e condições iniciais
u(x,0)=\sin(4x),\quad u_{t}(x,0)=\sin(2x).
Vamos resolver por separação de variáveis, expandindo em senos para satisfazer as extremidades fixas.

Passo 2

A solução geral em séries das cordas com extremidades fixas é
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(A_{n}\cos(nct)+B_{n}\sin(nct)\Bigr)\sin(nx),
onde c=3 (pois c^2=9) e os coeficientes A_{n}, B_{n} são fixados pelas condições iniciais.

Passo 3

Pela condição u(x,0)=\sin(4x), temos
u(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\sin(nx)=\sin(4x).
Comparando termos de \sin(nx) concluímos que
A_{4}=1 \quad\text{e}\quad A_{n}=0\text{ para }n\neq4.

Passo 4

Pela condição u_{t}(x,0)=\sin(2x), calculamos
u_{t}(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\bigl[-A_{n}\,n\,c\sin(nct)+B_{n}\,n\,c\cos(nct)\bigr]\sin(nx),
logo em t=0
u_{t}(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty}B_{n}\,n\,c\,\sin(nx) =\sin(2x).
Comparando coeficientes em \sin(2x)
B_{2}\cdot2\cdot3=1 \quad\Longrightarrow\quad B_{2}=\frac{1}{6},
e B_{n}=0 para n\neq2.

Passo 5

Substituindo A_{n} e B_{n} na série, só restam os modos n=4 e n=2:
u(x,t) =\underbrace{1\cdot\cos(4\cdot3\,t)}_{\cos(12t)}\sin(4x) +\underbrace{\frac{1}{6}\sin(2\cdot3\,t)}_{\tfrac16\sin(6t)}\sin(2x).

Resposta

u(x,t)=\cos(12t)\,\sin(4x)\;+\;\tfrac{1}{6}\,\sin(6t)\,\sin(2x).

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