Formalize as propriedades e as estratégias de cálculo de limites listadas abaixo.
a) Considerando que \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=L e \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=M, defina as seguintes propriedades:
Limite da Soma/Subtração: \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n} \pm b_{n}\right)=
Limite do Produto: \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n} \cdot b_{n}\right)=
Limite do Quociente (\operatorname{com} M \neq 0): \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{a_{n}}{b_{n}}\right)=
Limite da Potência: \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n}\right)^{k}=
b) Defina os seguintes Limites Fundamentais e Clássicas
Limite Trigonométrico: \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen} x}{x}=
Limite Exponencial (Número de Euler): \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=
Limite da Raiz n-ésima de n: \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}=
Limite da Raiz n-ésima de uma constante k>0: \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{k}=
c) Ao calcular \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{P(n)}{Q(n)}, onde P e Q são polinômios, qual é a técnica clássica de simplificação para evitar a indeterminação \infty / \infty ?
d) Quais as duas formas indeterminadas primárias que permitem a aplicação direta da regra de L’Hôpital? O que fazer caso alguma dessas regras não seja cumprida? Enuncie a regra.

Passo 1

O enunciado pede quatro blocos de coisas. Vou listar claramente cada pedido e as informações dadas:
  • Parte (a): foram dadas duas sequências com limites \lim_{n\to\infty} a_n = L e \lim_{n\to\infty} b_n = M. Pede-se definir as propriedades:
    • Limite da soma/subtração: \lim_{n\to\infty} (a_n \pm b_n)= (preencher).
    • Limite do produto: \lim_{n\to\infty} (a_n\cdot b_n)= (preencher).
    • Limite do quociente (com M\neq 0): \lim_{n\to\infty} \dfrac{a_n}{b_n}= (preencher).
    • Limite da potência: \lim_{n\to\infty} (a_n)^k= (preencher; interpretar o que é k).
  • Parte (b): pedir definir / fornecer limites fundamentais:
    • Limite trigonométrico \displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\operatorname{sen} x}{x}=
    • Limite exponencial (definição de e) \displaystyle \lim_{n\to\infty}\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n=
    • \displaystyle \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n}=
    • \displaystyle \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{k}= para constante k>0.
  • Parte (c): ao calcular \displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{P(n)}{Q(n)} com P,Q polinômios, pede-se qual técnica clássica usar para evitar a indeterminação \infty/\infty.
  • Parte (d): quais são as duas formas indeterminadas primárias que permitem a aplicação direta da regra de L’Hôpital; o que fazer caso alguma regra não seja cumprida; enuncie a regra.
Agora vou desenvolver cada item passo a passo, explicando o porquê e dando ideias práticas para a hora da prova.

Passo 2

(a) — Propriedades básicas de limites (declarações e comentários rápidos)
  • Limite da soma/subtração:
    \lim_{n\to\infty}\big(a_n \pm b_n\big)=L\pm M.
    Interpretação: ao somar ou subtrair duas sequências que convergem, o limite da soma/subtração é a soma/subtração dos limites.
  • Limite do produto:
    \lim_{n\to\infty}\big(a_n\cdot b_n\big)=L\cdot M.
    Interpretação: o limite do produto é o produto dos limites.
  • Limite do quociente (quando M\neq 0):
    \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{L}{M},\quad\text{se }M\neq 0.
    Interpretação: divisão de limites válida quando o limite do denominador não é zero (e a propriedade técnica de “afastar-se do zero” vale para b_n suficientemente grande).
  • Limite da potência (caso mais comum: k inteiro positivo):
    \lim_{n\to\infty} (a_n)^k = L^k\quad\text{para todo inteiro }k\ge 1.
    Observações: se k=0 então (a_n)^0=1 e o limite é 1. Para inteiros negativos k=-m é preciso que L\neq 0 e que b_n (ou a_n) não se anule a partir de algum n; então \lim (a_n)^{-m}=L^{-m}. Para potências racionais ou reais é preciso garantir sinais/definição da raiz (por exemplo a_n>0 para raízes reais); tecnicamente usa-se continuidade da função x\mapsto x^k no ponto L.

Passo 3

(a) — Justificações e mini-provas intuitivas (como fazer na prova)
  • Soma/subtração (esqueleto de prova \varepsilon- N): se \lim_{n\to\infty} a_n=L e \lim_{n\to\infty} b_n=M, então para dado \varepsilon>0 existem N_1,N_2 tais que
    |a_n-L|<\frac{\varepsilon}{2}\quad\text{para }n\ge N_1, \qquad |b_n-M|<\frac{\varepsilon}{2}\quad\text{para }n\ge N_2.
    Para n\ge N=\max(N_1,N_2) temos, pela desigualdade triangular,
    |(a_n+b_n)-(L+M)| \le |a_n-L|+|b_n-M|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon.
    Logo \lim (a_n+b_n)=L+M. Mesmo raciocínio vale para subtração.
  • Produto: usar que sequência convergente é limitada. Há N_1 com |a_n-L|<1 para n\ge N_1, então para n\ge N_1 temos |a_n|\le |L|+1. Tomando N_2 com |b_n-M|<\varepsilon/(2(|L|+1)) e N_3 com |a_n-L|<\varepsilon/(2(|M|+1)), uma manipulação algébrica dá
    |a_n b_n - LM| \le |a_n||b_n-M| + |M||a_n-L|,
    que pode ser tornada <\varepsilon para n grande. Conclusão: \lim a_n b_n = LM.
  • Quociente: primeiro usar que b_n\to M\neq0 implica que existe N tal que para n\ge N tem |b_n|\ge |M|/2>0. Assim denominador não anula e é limitado para longe de zero; então escrever
    \left|\frac{a_n}{b_n}-\frac{L}{M}\right| = \frac{|a_n M - L b_n|}{|b_n||M|} \le \frac{|M||a_n-L| + |L||b_n-M|}{|b_n||M|}
    e usar que b_n está afastado de zero para controlar a fração e obter <\varepsilon. Conclusão: \lim \dfrac{a_n}{b_n}=\dfrac{L}{M}.
  • Potência: se k inteiro positivo, aplicar produto k vezes: (a_n)^k = a_n\cdot a_n\cdots a_n e usar que o limite do produto de convergentes é produto dos limites. Para k real/racional, usar continuidade da função x\mapsto x^k em x=L (ou transformar por log se necessário).
Dica prática para prova: cite limite de produto e continuidade das funções elementares; se o enunciado pedir demonstração completa, faça por indução em k ou por expansão via binômio quando k inteiro.

Passo 4

(b) — Limites fundamentais (afirmação e uma explicação curta de por que valem)
  • Limite trigonométrico:
    \lim_{x\to 0} \frac{\operatorname{sen} x}{x}=1.
    Ideia de prova curta: para x em (0,\tfrac{\pi}{2}) usar relações geométricas do círculo unitário que dão
    \cos x \le \frac{\operatorname{sen} x}{x} \le 1,
    ou o clássico \cos x \le \dfrac{\sin x}{x} \le 1 (após manipulação); como \lim_{x\to0}\cos x=1, pelo teorema do aperto (squeeze) \lim \frac{\operatorname{sen} x}{x}=1.
  • Limite exponencial (definição de e):
    \lim_{n\to\infty}\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n = e,
    onde e é o número de Euler (aprox. 2,71828\ldots). Ideia: a sequência é monótona crescente e limitada superiormente (pode-se comparar com séries e usar desigualdades com somas); seu limite é o e. Outra caracterização: e=\sum_{k=0}^\infty \dfrac{1}{k!}.
  • Limite da raiz n-ésima de n:
    \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n}=1.
    Explicação: escrever \sqrt[n]{n}=e^{\frac{\ln n}{n}}. Como \lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n}=0 (log cresce muito mais devagar que n), temos e^{0}=1.
  • Limite da raiz n-ésima de constante k>0:
    \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{k}=1.
    Explicação: escreva \sqrt[n]{k}=e^{\frac{\ln k}{n}}. Como \frac{\ln k}{n}\to 0, o expoente tende a 0 e a expressão tende a 1.

Passo 5

(b) — Exemplos rápidos para fixar (úteis na prova)
  • Para \operatorname{sen} x/x: experimente com pequenos x (por exemplo x=0{,}1 rad) e veja que \operatorname{sen}(0{,}1)/(0{,}1)\approx 0{,}9983 — já está perto de 1.
  • Para \big(1+\frac{1}{n}\big)^n: calcule para n=1,2,5,10 e verá 2, 2{,}25, 2{,}48832\ldots, 2{,}59374\ldots crescendo para e.
  • Para \sqrt[n]{k}: mesmo para k=100, \sqrt[10]{100}\approx 1{,}5849 e \sqrt[100]{100}\approx 1{,}0471, aproximando-se de 1.

Passo 6

(c) — Técnica clássica para \displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{P(n)}{Q(n)} (com P,Q polinômios)
Técnica: dividir numerador e denominador pelo maior grau de n presente em P ou Q. Mais precisamente, se \deg P = p e \deg Q = q, divida tanto P(n) quanto Q(n) por n^{\max(p,q)} (ou por n^q se quiser comparar) para eliminar a indeterminação \infty/\infty. Após dividir, termos com potências menores de n viram termos com fator \tfrac{1}{n^r} que tendem a 0, e sobram os coeficientes principais.
Regra prática:
  • Se p<q então \lim_{n\to\infty}\dfrac{P(n)}{Q(n)}=0.
  • Se p=q então \lim_{n\to\infty}\dfrac{P(n)}{Q(n)}=\dfrac{\text{coeficiente líder de }P}{\text{coeficiente líder de }Q}íí.
  • Se p>q então \left|\dfrac{P(n)}{Q(n)}\right|\to\infty (sinal determinado pelo sinal do coeficiente líder do quociente).
Exemplo rápido: \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{3n^2+5n}{2n^2-7}=\frac{3}{2} (dividir por n^2).

Passo 7

(d) — Formas indeterminadas primárias e enunciado de L’Hôpital
  • As duas formas indeterminadas primárias para as quais L’Hôpital se aplica diretamente são:
    1. \displaystyle \frac{0}{0} (quando numerador e denominador tendem a zero).
    2. \displaystyle \frac{\infty}{\infty} (quando ambos tendem a infinito, possivelmente \pm\infty).
  • Regra de L’Hôpital (enunciado clássico, versão para funções reais):
    Seja f e g funções diferenciáveis em um intervalo aberto (a-\delta,a+\delta), exceto possivelmente em a, e suponha que para x\to a (ou x\to\pm\infty) ocorra uma das formas \dfrac{0}{0} ou \dfrac{\infty}{\infty}. Se g'(x)\neq 0 para x próximo de a (exceto possivelmente em a) e se existir o limite
    \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L_0\quad(\text{ou } \pm\infty),
    então
    \lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = L_0.
    (Justificação formal: prova via o Teorema de Cauchy do valor médio.)

Passo 8

(d) — O que fazer se as hipóteses de L’Hôpital não forem cumpridas
  • Se a forma não for 0/0 nem \infty/\infty, não se pode aplicar L’Hôpital diretamente. Muitas indeterminações (como 0\cdot\infty, \infty-\infty, 1^\infty, 0^0, \infty^0) precisam ser manipuladas para virar uma das formas acima. Estratégias comuns:
    • Transformar 0\cdot\infty em \dfrac{0}{0} ou \dfrac{\infty}{\infty} escrevendo f\cdot g = \dfrac{f}{1/g} ou \dfrac{g}{1/f}.
    • Transformar \infty-\infty juntando termos em uma única fração, ou fatorando o termo dominante.
    • Para formas exponenciais (como 1^\infty, 0^0, \infty^0), tomar logaritmo: se se quer \lim h(x)^{k(x)}, considere \lim \exp\big(k(x)\ln h(x)\big) e estude \lim k(x)\ln h(x) (que frequentemente vira 0\cdot\infty ou 0/0, permitindo L’Hôpital).
    • Usar série de Taylor (expansão) quando as funções são suaves; por exemplo expandir \operatorname{sen} x = x - x^3/6 + \cdots para obter a ordem principal e daí o limite.
    • Fatorar, dividir pelo maior grau (para polinômios/racionais), ou usar comparação/limites conhecidos.
  • Se as hipóteses de diferenciação não são satisfeitas (por exemplo funções não diferenciáveis), não se usa L’Hôpital; deve-se recorrer às outras técnicas acima (álgebra, séries, desigualdades, transformação logarítmica).

Passo 9

(d) — Observações práticas e exemplos de transformações (na prova vale ouro)
  • Exemplo 1 (0·∞): considere \lim_{x\to 0^+} x\ln x. Aqui x\to 0 e \ln x\to -\infty (forma 0\cdot(-\infty)). Escrever
    x\ln x = \frac{\ln x}{1/x},
    agora numerador \to -\infty e denominador \to\infty — forma \infty/\infty (com sinal); aplicar L’Hôpital em \dfrac{\ln x}{1/x} dá limite 0.
  • Exemplo 2 (forma exponencial 1^\infty): \lim_{x\to 0} \left(1+x\right)^{1/x}. Tomar logaritmo:
    \ln\Big((1+x)^{1/x}\Big)=\frac{\ln(1+x)}{x},
    que é forma 0/0; aplicar L’Hôpital (ou usar série) obtém limite 1 no ln, então limite total e^1=e.
  • Repetir L’Hôpital: às vezes, após aplicar a regra uma vez, ainda resta uma indeterminação; pode-se aplicar novamente desde que as hipóteses se mantenham.

Passo 10

Recapitulando com dicas rápidas para a prova (estilo checklist):
  • Para somas, produtos, quocientes e potências: use as propriedades diretas se os limites L,M existirem; atenção ao denominador não ser zero.
  • Para sequências racionais/polinomiais: divida pelo maior grau (ou pelo grau do denominador) e compare graus.
  • Para formas estranhas: tente transformar para 0/0 ou \infty/\infty. Use logaritmo para potências, fatoração/colocação em uma fração para diferenças, e séries de Taylor se souber.
  • Use L’Hôpital apenas quando tiver diferenciação válida e forma 0/0 ou \infty/\infty.

Resposta

a) \lim_{n\to\infty}(a_n\pm b_n)=L\pm M
a) \lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=L\cdot M
a) \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{L}{M} (se M\neq 0)
a) \displaystyle \lim_{n\to\infty}(a_n)^k=L^k (para k inteiro positivo; para k geral, requer hipóteses adicionais de continuidade/positividade)
b) \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen} x}{x}=1
b) \displaystyle \lim_{n\to\infty}\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n=e
b) \displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1
b) \displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{k}=1 para k>0
c) Dividir numerador e denominador pelo maior poder de n (ou pelo grau do denominador); comparar os graus dos polinômios (se grau numerador < grau denominador \to 0; se iguais \to razão dos coeficientes líderes; se maior \to\infty).
d) Formas primárias: \dfrac{0}{0} e \dfrac{\infty}{\infty}.
d) Regra de L’Hôpital (forma essencial): se f,g são diferenciáveis perto de a (exceto possivelmente em a), g'(x)\neq 0 próximo de a, e tanto f(x) e g(x) tendem a 0 ou ambos tendem a \pm\infty quando x\to a, e se \displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} existe (ou é \pm\infty), então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
d) Se hipóteses não se cumprirem, usar manipulações algébricas, transformações (ex.: logaritmo para potências), séries de Taylor, fatoração ou dividir por termos dominantes para reduzir a uma das formas permitidas.

Exercícios relacionados