Estabeleça os resultados das operações e igualdades fundamentais listadas abaixo. Estes conceitos formam a base para a simplificação de termos em séries numéricas e análise de limites.
Logaritmos e Identidade de Euler
Logaritmos e Identidade de Euler
Passo 1
O enunciado pede que eu estabeleça o valor/identidade das expressões listadas:
Informações implícitas que vou usar (condições sobre as letras):
Não começo a calcular ainda; apenas deixei claro o que é pedido e quais são as hipóteses sobre
.
Passo 2
Primeiro, lembrar a definição que vai servir como “ferramenta” básica: a função
é a função inversa da exponencial base
. Em linguagem matemática:
Explicando com calma: dizer que
é a mesma coisa que afirmar que, se eu exponencio
à potência
, volto o número
. Isso me permite transformar equações com
em equações exponenciais e vice‑versa — justamente a chave para as propriedades abaixo.
Passo 3
Calcular
. Pela definição inversa, se
então
. Qual número
satisfaz
? Sabemos que
. Como a função exponencial é bijetora no conjunto dos reais, a única solução real é
. Portanto:
Intuição rápida: logaritmo mede “quantas vezes uso a base
para chegar em 1”; não uso nada, então zero.
Passo 4
Calcular
. Se
então
. Isso é satisfeito por
, pois
. Logo:
Intuitivamente: a potência de
que dá
é 1.
Passo 5
Provar
para
.
Passo a passo com notação simples: defina
e
. Pela definição inversa temos
Multiplicando as duas igualdades:
Usando a propriedade das exponenciais
, obtemos
Aplicando
nos dois lados (lembrando que
), e usando a inversão, fica
Isso prova a fórmula da soma do logaritmo.
Passo 6
Provar
para
e
.
Novamente, escreva
, então
. Então
Aplicando
aos dois lados:
Observação: para
real usa‑se a extensão da potência real
(definida para
), e a propriedade
vale.
Passo 7
Provar
para
.
Escreva
. Aplicando a propriedade multiplicativa do logaritmo (Passo 5) e a propriedade da potência (Passo 6) com
:
Passo 8
Resumo dos domínios e cuidados rápidos (para não trombar na prova): todas as igualdades acima exigem que os argumentos dos
sejam positivos reais; isto é,
,
. Para
assume‑se
(então
para
real). Se entrar com números negativos ou complexos, as identidades continuam válidas em uma versão complexa do logaritmo, mas aí aparecem multivalores e a coisa fica mais delicada — na prova normal de cálculo real basta manter argumentos positivos.
Passo 9
Uma nota rápida sobre a “Identidade de Euler” citada no enunciado (ligação entre
e trigonometria): vale a fórmula de Euler
e, em particular, para
tem‑se
a famosa identidade de Euler. Isso mostra como a base
está profundamente ligada ao círculo trigonométrico; também explica por que, ao passar para o logaritmo no campo complexo, aparece
(até múltiplos de
, por multivalor).