Estabeleça os resultados das operações e igualdades fundamentais listadas abaixo. Estes conceitos formam a base para a simplificação de termos em séries numéricas e análise de limites.
Logaritmos e Identidade de Euler
\begin{array}{ll} \ln (1)= & \ln \left(\frac{a}{b}\right)= \\\ \ln (e)= & \ln \left(a^{k}\right)= \end{array}
\ln (a \cdot b)=

Passo 1

O enunciado pede que eu estabeleça o valor/identidade das expressões listadas:
\ln(1)=\qquad \ln(e)=\qquad \ln\!\left(\frac{a}{b}\right)=\qquad \ln\!\left(a^{k}\right)=\qquad \ln(a\cdot b)=
Informações implícitas que vou usar (condições sobre as letras):
a>0,\qquad b>0,\qquad k\in\mathbb{R}.
Não começo a calcular ainda; apenas deixei claro o que é pedido e quais são as hipóteses sobre a,b,k.

Passo 2

Primeiro, lembrar a definição que vai servir como “ferramenta” básica: a função \ln é a função inversa da exponencial base e. Em linguagem matemática:
y=\ln(x)\quad\Longleftrightarrow\quad e^{y}=x.
Explicando com calma: dizer que y=\ln(x) é a mesma coisa que afirmar que, se eu exponencio e à potência y, volto o número x. Isso me permite transformar equações com \ln em equações exponenciais e vice‑versa — justamente a chave para as propriedades abaixo.

Passo 3

Calcular \ln(1). Pela definição inversa, se y=\ln(1) então e^{y}=1. Qual número y satisfaz e^{y}=1? Sabemos que e^{0}=1. Como a função exponencial é bijetora no conjunto dos reais, a única solução real é y=0. Portanto:
\ln(1)=0.
Intuição rápida: logaritmo mede “quantas vezes uso a base e para chegar em 1”; não uso nada, então zero.

Passo 4

Calcular \ln(e). Se y=\ln(e) então e^{y}=e. Isso é satisfeito por y=1, pois e^{1}=e. Logo:
\ln(e)=1.
Intuitivamente: a potência de e que dá e é 1.

Passo 5

Provar \ln(a\cdot b)=\ln(a)+\ln(b) para a>0,b>0.
Passo a passo com notação simples: defina u=\ln(a) e v=\ln(b). Pela definição inversa temos
e^{u}=a,\qquad e^{v}=b.
Multiplicando as duas igualdades:
e^{u}\cdot e^{v}=a\cdot b.
Usando a propriedade das exponenciais e^{u}\cdot e^{v}=e^{u+v}, obtemos
e^{u+v}=a\cdot b.
Aplicando \ln nos dois lados (lembrando que e^{u+v}>0), e usando a inversão, fica
\ln(a\cdot b)=u+v=\ln(a)+\ln(b).
Isso prova a fórmula da soma do logaritmo.

Passo 6

Provar \ln\!\left(a^{k}\right)=k\ln(a) para a>0 e k\in\mathbb{R}.
Novamente, escreva u=\ln(a), então e^{u}=a. Então
a^{k}=(e^{u})^{k}=e^{k u}.
Aplicando \ln aos dois lados:
\ln\!\left(a^{k}\right)=\ln(e^{k u})=k u = k\ln(a).
Observação: para k real usa‑se a extensão da potência real a^{k} (definida para a>0), e a propriedade (e^{u})^{k}=e^{ku} vale.

Passo 7

Provar \ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b) para a>0,b>0.
Escreva \dfrac{a}{b}=a\cdot b^{-1}. Aplicando a propriedade multiplicativa do logaritmo (Passo 5) e a propriedade da potência (Passo 6) com k=-1:
\ln\!\left(\frac{a}{b}\right)=\ln\!\big(a\cdot b^{-1}\big)=\ln(a)+\ln(b^{-1})=\ln(a)+(-1)\ln(b)=\ln(a)-\ln(b).

Passo 8

Resumo dos domínios e cuidados rápidos (para não trombar na prova): todas as igualdades acima exigem que os argumentos dos \ln sejam positivos reais; isto é, a>0, b>0. Para \ln(a^{k}) assume‑se a>0 (então a^{k}>0 para k real). Se entrar com números negativos ou complexos, as identidades continuam válidas em uma versão complexa do logaritmo, mas aí aparecem multivalores e a coisa fica mais delicada — na prova normal de cálculo real basta manter argumentos positivos.

Passo 9

Uma nota rápida sobre a “Identidade de Euler” citada no enunciado (ligação entre e e trigonometria): vale a fórmula de Euler
e^{i\theta}=\cos\theta + i\sin\theta,
e, em particular, para \theta=\pi tem‑se
e^{i\pi}=-1\quad\Longrightarrow\quad e^{i\pi}+1=0,
a famosa identidade de Euler. Isso mostra como a base e está profundamente ligada ao círculo trigonométrico; também explica por que, ao passar para o logaritmo no campo complexo, aparece \ln(-1)=i\pi (até múltiplos de 2\pi i, por multivalor).

Resposta

\ln(1)=0
\ln(e)=1
\ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b)
\ln\!\left(a^{k}\right)=k\ln(a)
\ln(a\cdot b)=\ln(a)+\ln(b)

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