Estabeleça os resultados das operações e igualdades fundamentais listadas abaixo. Estes conceitos formam a base para a simplificação de termos em séries numéricas e análise de limites.
Fatoriais
\begin{aligned} & (n+1)!= \\\ & (2 n+2)!= \end{aligned}
\begin{aligned} & \text { Simplificação de } \frac{n!}{(n+1)!}= \\\ & \text { Simplificação de } \frac{(2 n)!}{(2 n+2)!}= \end{aligned}çãçã

Passo 1

O enunciado pede que se estabeleçam formas úteis e simplificações envolvendo fatorial. As perguntas/itens são:
  • Encontrar uma expressão para (n+1)!.
  • Encontrar uma expressão para (2n+2)!.
  • Simplificar \dfrac{n!}{(n+1)!}.
  • Simplificar \dfrac{(2n)!}{(2n+2)!}.
Informações relevantes dadas (implícitas): n é um inteiro não negativo (ou seja, n\ge0), e usa-se a definição usual de fatorial.

Passo 2

Definição e propriedade básica de fatorial (a aula rapidinha):
  • Por definição, para inteiro não negativo \,n, tem-se
n! = n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdots 2\cdot 1,
com a convenção \,0! = 1.
  • A relação recursiva importante, que vem direto da definição, é
n! = n\cdot (n-1)!.
Essa relação serve para escrever um fatorial em termos do fatorial anterior e é a base das simplificações que vamos fazer.

Passo 3

Determinar (n+1)! usando a propriedade recursiva:
pela definição recursiva, substituindo n por n+1,
(n+1)! = (n+1)\cdot n!.
Explicação: (n+1)! é o produto de todos os inteiros de 1 até n+1. Esse produto é exatamente (n+1) multiplicado por n!, que já é o produto de 1 até n.
Exemplo numérico rápido (para fixar): se n=4, então
(4+1)! = 5! = 5\cdot 4! = 5\cdot 24 = 120.

Passo 4

Determinar (2n+2)! escrevendo-o em termos de (2n)!:
observe a sequência descendente do fatorial:
(2n+2)! = (2n+2)\cdot (2n+1)\cdot (2n)\cdot(2n-1)\cdots 1.
Agrupando os dois primeiros fatores, temos a fatoração
(2n+2)! = (2n+2)\cdot (2n+1)\cdot (2n)!.
Explicação: (2n)! é o produto de 1 até 2n; multiplicando por (2n+1)(2n+2) recupera-se (2n+2)!.
Exemplo numérico rápido: para n=2,
(2\cdot 2+2)! = 6! = 6\cdot5\cdot 4! = 720,
e 6\cdot5\cdot 24 = 720, bate certinho.

Passo 5

Simplificar \dfrac{n!}{(n+1)!} usando a expressão de (n+1)! do Passo 3:
substituindo (n+1)! = (n+1)\cdot n! na fração,
\frac{n!}{(n+1)!} = \frac{n!}{(n+1)\cdot n!}.
Agora cancelamos o fator comum \,n! no numerador e no denominador (isso é válido para n!\neq0; lembrando que n!\ge1 para n\ge0), obtendo
\frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{\,n+1\,}.
Exemplo numérico: para n=4, \dfrac{4!}{5!}=\dfrac{24}{120}=\dfrac{1}{5}, conforme a fórmula.

Passo 6

Simplificar \dfrac{(2n)!}{(2n+2)!} usando a expressão de (2n+2)! do Passo 4:
substituindo (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)! na fração,
\frac{(2n)!}{(2n+2)!} = \frac{(2n)!}{(2n+2)(2n+1)(2n)!}.
Cancelando o fator comum (2n)! no numerador e no denominador, obtemos
\frac{(2n)!}{(2n+2)!} = \frac{1}{(2n+2)(2n+1)}.
Opcionalmente pode-se escrever em forma levemente diferente:
\frac{1}{(2n+2)(2n+1)}=\frac{1}{2(n+1)(2n+1)}.
Exemplo numérico: para n=2, \dfrac{4!}{6!}=\dfrac{24}{720}=\dfrac{1}{30}, e \dfrac{1}{(6)(5)}=\dfrac{1}{30}, tudo certo.

Passo 7

Dica prática para provas: quando aparecerem frações com fatoriais como \dfrac{a!}{b!} com b>a, escreva b! como b(b-1)\cdots(a+1)\,a! e cancele o a!. Isso simplifica muito contas em séries e limites e evita cálculo de grandes números.

Resposta

(n+1)! = (n+1)\cdot n!
(2n+2)! = (2n+2)\cdot(2n+1)\cdot(2n)!
\dfrac{n!}{(n+1)!} = \dfrac{1}{\,n+1\,}
\dfrac{(2n)!}{(2n+2)!} = \dfrac{1}{(2n+2)(2n+1)}

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