Estabeleça os resultados das operações e igualdades fundamentais listadas abaixo. Estes conceitos formam a base para a simplificação de termos em séries numéricas e análise de limites.
Fatoriais
Fatoriais
Passo 1
O enunciado pede que se estabeleçam formas úteis e simplificações envolvendo fatorial. As perguntas/itens são:
- Encontrar uma expressão para
. - Encontrar uma expressão para
. - Simplificar
. - Simplificar
.
Informações relevantes dadas (implícitas):
é um inteiro não negativo (ou seja,
), e usa-se a definição usual de fatorial.
Passo 2
Definição e propriedade básica de fatorial (a aula rapidinha):
- Por definição, para inteiro não negativo
, tem-se
com a convenção
.
- A relação recursiva importante, que vem direto da definição, é
Essa relação serve para escrever um fatorial em termos do fatorial anterior e é a base das simplificações que vamos fazer.
Passo 3
Determinar
usando a propriedade recursiva:
pela definição recursiva, substituindo por
,
pela definição recursiva, substituindo
Explicação:
é o produto de todos os inteiros de
até
. Esse produto é exatamente
multiplicado por
, que já é o produto de
até
.
Exemplo numérico rápido (para fixar): se , então
Exemplo numérico rápido (para fixar): se
Passo 4
Determinar
escrevendo-o em termos de
:
observe a sequência descendente do fatorial:
observe a sequência descendente do fatorial:
Agrupando os dois primeiros fatores, temos a fatoração
Explicação:
é o produto de
até
; multiplicando por
recupera-se
.
Exemplo numérico rápido: para ,
Exemplo numérico rápido: para
e
, bate certinho.
Passo 5
Simplificar
usando a expressão de
do Passo 3:
substituindo na fração,
substituindo
Agora cancelamos o fator comum
no numerador e no denominador (isso é válido para
; lembrando que
para
), obtendo
Exemplo numérico: para
,
, conforme a fórmula.
Passo 6
Simplificar
usando a expressão de
do Passo 4:
substituindo na fração,
substituindo
Cancelando o fator comum
no numerador e no denominador, obtemos
Opcionalmente pode-se escrever em forma levemente diferente:
Exemplo numérico: para
,
, e
, tudo certo.
Passo 7
Dica prática para provas: quando aparecerem frações com fatoriais como
com
, escreva
como
e cancele o
. Isso simplifica muito contas em séries e limites e evita cálculo de grandes números.