Formam-se as combinações simples de classe 5 dos elementos
, as quais são escritas com os elementos em ordem crescente de índices. Quantas são as combinações nas quais o elemento
ocupa o
lugar?
Passo 1
O enunciado dá os elementos
e pede para formar combinações simples de classe
(ou seja, subconjuntos de 5 elementos) escritas em ordem crescente de índices. Queremos contar quantas dessas combinações têm o elemento
ocupando exatamente o
lugar (isto é, sendo o terceiro elemento na ordem crescente).\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:\n
- Há
elementos: .\n - Formamos combinações de tamanho
escritas em ordem crescente de índices (portanto não há permutações internas: a ordem é a ordem natural dos índices).\n - A condição exigida é: o terceiro elemento, na ordenação, é
.\n
Passo 2
Interpretação da condição: se numa combinação de cinco elementos, em ordem crescente, o terceiro elemento é
, então os dois primeiros elementos devem ser escolhidos entre os elementos de índice menor que
, isto é, entre
; e os dois últimos elementos (4.º e 5.º) devem ser escolhidos entre os elementos de índice maior que
, isto é, entre
.\n
Portanto o problema reduz-se a: escolher elementos dentre os
anteriores a
e escolher
elementos dentre os
posteriores a
. Essas duas escolhas são independentes (uma escolha não afeta a outra).
Portanto o problema reduz-se a: escolher
Passo 3
Explicação e fórmula de contagem: o número de maneiras de escolher
elementos dentre
quando a ordem não importa chama-se coeficiente binomial, denotado
, e vale
onde
(fatorial de
) é o produto
. Esse número conta quantas combinações simples de tamanho
existem em um conjunto de
elementos.
Aplicando ao caso dos dois primeiros lugares: precisamos escolher
elementos entre os
elementos
. O número de escolhas é
Passo 4
Calcular
de forma prática (sem usar calculadora): usando a fórmula ou simplificando,
Expliquei: em geral
.
Passo 5
Agora para os dois últimos lugares: escolher
elementos entre os
elementos
. O número de escolhas é
Calculemos:
Passo 6
Combinar as escolhas: pelo princípio multiplicativo (se uma tarefa pode ser feita de
maneiras e outra independente de
maneiras, as duas juntas podem ser feitas de
maneiras), o total de combinações que satisfazem a condição é
Intuição final: cada escolha dos dois menores (21 possibilidades) pode ser combinada com cada escolha dos dois maiores (6 possibilidades), e
fica fixo na terceira posição.