Formam-se as combinações simples de classe 5 dos elementos a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{12}, as quais são escritas com os elementos em ordem crescente de índices. Quantas são as combinações nas quais o elemento a_{8} ocupa o 3^{\circ} lugar?

Passo 1

O enunciado dá os elementos a_{1},a_{2},\dots,a_{12} e pede para formar combinações simples de classe 5 (ou seja, subconjuntos de 5 elementos) escritas em ordem crescente de índices. Queremos contar quantas dessas combinações têm o elemento a_{8} ocupando exatamente o 3^{\circ} lugar (isto é, sendo o terceiro elemento na ordem crescente).\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:\n
  • 12 elementos: a_{1},a_{2},\dots,a_{12}.\n
  • Formamos combinações de tamanho 5 escritas em ordem crescente de índices (portanto não há permutações internas: a ordem é a ordem natural dos índices).\n
  • A condição exigida é: o terceiro elemento, na ordenação, é a_{8}.\n

Passo 2

Interpretação da condição: se numa combinação de cinco elementos, em ordem crescente, o terceiro elemento é a_{8}, então os dois primeiros elementos devem ser escolhidos entre os elementos de índice menor que 8, isto é, entre a_{1},\dots,a_{7}; e os dois últimos elementos (4.º e 5.º) devem ser escolhidos entre os elementos de índice maior que 8, isto é, entre a_{9},a_{10},a_{11},a_{12}.\n
Portanto o problema reduz-se a: escolher 2 elementos dentre os 7 anteriores a a_{8} e escolher 2 elementos dentre os 4 posteriores a a_{8}. Essas duas escolhas são independentes (uma escolha não afeta a outra).

Passo 3

Explicação e fórmula de contagem: o número de maneiras de escolher k elementos dentre n quando a ordem não importa chama-se coeficiente binomial, denotado \binom{n}{k}, e vale
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial de n) é o produto n(n-1)(n-2)\cdots1. Esse número conta quantas combinações simples de tamanho k existem em um conjunto de n elementos.
Aplicando ao caso dos dois primeiros lugares: precisamos escolher 2 elementos entre os 7 elementos a_{1},\dots,a_{7}. O número de escolhas é
\binom{7}{2}.

Passo 4

Calcular \binom{7}{2} de forma prática (sem usar calculadora): usando a fórmula ou simplificando,
\binom{7}{2}=\frac{7\cdot6}{2\cdot1}=21.
Expliquei: em geral \binom{n}{2}=\dfrac{n(n-1)}{2}.

Passo 5

Agora para os dois últimos lugares: escolher 2 elementos entre os 4 elementos a_{9},a_{10},a_{11},a_{12}. O número de escolhas é
\binom{4}{2}.
Calculemos:
\binom{4}{2}=\frac{4\cdot3}{2\cdot1}=6.

Passo 6

Combinar as escolhas: pelo princípio multiplicativo (se uma tarefa pode ser feita de m maneiras e outra independente de n maneiras, as duas juntas podem ser feitas de m\cdot n maneiras), o total de combinações que satisfazem a condição é
\binom{7}{2}\cdot\binom{4}{2}=21\cdot6=126.
Intuição final: cada escolha dos dois menores (21 possibilidades) pode ser combinada com cada escolha dos dois maiores (6 possibilidades), e a_{8} fica fixo na terceira posição.

Resposta

126

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