Depois de ter dado um curso, um professor resolve se despedir de seus 7 alunos oferecendo, durante 7 dias consecutivos, 7 jantares para 3 alunos, cada. De quantos modos ele pode fazer os convites se ele não deseja que um mesmo par de alunos compareça a mais de um jantar?

Passo 1

O enunciado diz: o professor tem 7 alunos e, durante 7 dias consecutivos, em cada dia ele convida 3 desses alunos para jantar. A restrição é que um mesmo par de alunos não pode comparecer junto a mais de um jantar.
Informações relevantes listadas:
  • 7 alunos distintos (vamos tratá‑los como rotulados 1,2,\dots,7).
  • Em cada dia é escolhido um subconjunto de 3 alunos (um triplete, sem ordem).
  • São 7 dias — portanto serão 7 tripletes escolhidos (um por dia).
  • Condição: nenhum par de alunos aparece junto em dois dias distintos (ou seja, cada par pode aparecer no máximo uma vez).
  • Pergunta implícita: de quantos modos (distintas escolhas de convidados dia a dia) isso pode ser feito, assumindo que os dias são distintos (a ordem dos dias importa)?

Passo 2

Primeiro vamos traduzir a condição dos pares em uma igualdade simples de contagem de pares. Cada jantar (um triplete) contém \binom{3}{2}=3 pares de alunos. Com 7 jantares teremos, contando pares por jantar, um total de
7\cdot \binom{3}{2}=7\cdot 3=21
pares “ocorridos” ao longo da semana. Mas o total de pares possíveis distintos entre 7 alunos é
\binom{7}{2}=21.
Como a condição proíbe repetição de um mesmo par em dois jantares, esses 21 pares “ocorridos” devem ser todos pares distintos. Logo os 7 tripletes cobrem exatamente todos os \binom{7}{2} pares, cada par aparece exatamente uma vez.

Passo 3

A configuração que tem conjuntos de 3 elementos (blocos) cobrindo todas as \binom{7}{2} pares exatamente uma vez é um objeto bem‑conhecido: um sistema de Steiner de parâmetros (2,3,7), geralmente chamado de sistema de Steiner para 7 pontos ou de plano de Fano. Propriedades úteis que extraímos:
  • Deve haver exatamente 7 blocos (cada bloco possui 3 pontos e 7\cdot 3 incidências cobre 21 incidências que correspondem aos 21 pares).
  • Tal sistema existe e, até isomorfismo, é único: é o plano de Fano (os 7 blocos são fixos estruturalmente, embora possamos renomear os 7 alunos).

Passo 4

Agora vamos contar de quantas maneiras diferentes (com os alunos rotulados) se pode escolher esses 7 blocos. Como existe apenas uma estrutura (o plano de Fano) até renomeação dos 7 pontos, o número de maneiras de obter um conjunto de 7 tripletes satisfazendo a condição é igual ao número de maneiras de etiquetar os 7 vértices do Fano com os 7 alunos. Cada etiquetagem bijetiva corresponde a uma cópia etiquetada do plano de Fano, porém duas etiquetagens que diferem por uma automorfismo do plano produzem o mesmo conjunto de blocos em termos de conjuntos de vértices. Portanto o número de sistemas rotulados é
\frac{7!}{|\operatorname{Aut}(\text{Fano})|},
onde |\operatorname{Aut}(\text{Fano})| é o número de automorfismos (permutacoes dos 7 vértices que preservam os blocos).

Passo 5

Precisamos agora o tamanho do grupo de automorfismos do plano de Fano. O plano de Fano é o plano projetivo sobre o corpo finito com 2 elementos; seu grupo linear geral tem ordem
(2^3-1)(2^3-2)(2^3-2^2)=(8-1)(8-2)(8-4)=7\cdot 6\cdot 4=168.
Sobre o corpo \mathbb{F}_2 os escalares invertíveis são apenas 1, então esse grupo linear coincide com o grupo projetivo que é exatamente o grupo de automorfismos do Fano. Assim
|\operatorname{Aut}(\text{Fano})|=168.
Logo o número de sistemas rotulados (conjuntos de 7 tripletes sobre a base rotulada \{1,\dots,7\}) é
\frac{7!}{168}.
Calculando 7!=5040, temos \dfrac{5040}{168}=30. Assim existem 30 conjuntos distintos de 7 tripletes que satisfazem a condição, quando os alunos são rotulados.

Passo 6

Até agora contamos apenas conjuntos de 7 tripletes (isto é, que jantares acontecem), mas os 7 dias são distintos e a ordem em que esses 7 blocos são atribuídos aos dias importa. Para cada conjunto de 7 blocos podemos permutar esses blocos entre os 7 dias de 7! maneiras. Portanto o número total de modos de fazer os convites dia a dia é
\frac{7!}{168}\cdot 7! = \frac{(7!)^2}{168}.
Substituindo 7!=5040 obtemos
\frac{5040\cdot 5040}{168}=151200.

Resposta

151200

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