Em uma escola, x professores se distribuem em 8 bancas examinadoras de modo que cada professor participa de, exatamente, duas bancas e cada duas bancas têm exatamente um professor em comum.
a) Calcule x.
b) Determine quantos professores há em cada banca.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
  • Informações dadas:
    • x professores (esse é o número que precisamos descobrir).
    • Essas x pessoas se distribuem em 8 bancas examinadoras.
    • Cada professor participa de, exatamente, duas bancas. Vou chamar esse número de aparições por professor de r, então r=2.
    • Cada duas bancas têm exatamente um professor em comum (ou seja, a interseção de quaisquer duas bancas contém exatamente um professor).
  • Perguntas:
    • (a) Calcular x.
    • (b) Determinar quantos professores há em cada banca (ou seja, o tamanho de cada banca).

Passo 2

Vamos contar, de duas maneiras diferentes, quantas interseções há entre pares de bancas. Isso é um clássico método de contagem dupla (double counting): contamos o mesmo conjunto de objetos de duas formas e igualamos os resultados.
Primeira forma (contando pares de bancas):
  • O número de pares distintos de bancas entre 8 bancas é
\binom{8}{2}=\frac{8\cdot 7}{2}=28.
  • Pela hipótese, cada par de bancas tem exatamente 1 professor em comum, então o total de interseções (contando uma unidade para cada par de bancas) é 28.
Segunda forma (contando por professor):
  • Cada professor participa exatamente de r=2 bancas.
  • Para um professor fixo, em quantos pares de bancas ele aparece como interseção? Se ele está em exatamente 2 bancas, então ele determina exatamente \binom{2}{2}=1 par de bancas (aquelas duas bancas onde ele aparece).
  • Portanto, somando sobre todos os x professores, o total de pares de bancas contados dessa forma é x\cdot 1 = x.
Igualando as duas contagens (as duas maneiras contam o mesmo conjunto de interseções entre pares de bancas), obtemos
x = 28.

Passo 3

Concluímos então a parte (a): o número total de professores é x=28. Vou agora explicar e deduzir quantos professores há em cada banca.

Passo 4

Contagem do total de incidências (professor em banca):
  • Seja k_i o número de professores na banca i (para i=1,\dots,8). O total de “incidências” (pares (professor, banca) com professor participando daquela banca) é
\sum_{i=1}^{8} k_i.
  • Por outro lado, cada um dos x professores aparece em exatamente r=2 bancas, então o total de incidências também é
x\cdot r = 28\cdot 2 = 56.
Logo
\sum_{i=1}^{8} k_i = 56.
  • A média de professores por banca é \dfrac{56}{8}=7. Mas precisamos mostrar que cada banca tem exatamente 7 (não apenas em média).

Passo 5

Mostrando que cada banca tem exatamente 7 professores:
  • Pegue uma banca fixa B. Ela intersecciona cada uma das outras 7 bancas em exatamente 1 professor (pela hipótese).
  • Esses professores de interseção entre B e as outras bancas são todos distintos entre si. Justificativa: suponha que um mesmo professor p fosse o elemento comum de B e de duas outras bancas distintas B_1 e B_2. Então p estaria em B,B_1,B_2, ou seja, em 3 bancas, o que contradiz a hipótese de que cada professor participa de exatamente 2 bancas.
  • Portanto, para cada uma das 7 outras bancas há um professor distinto em B que faz a interseção com ela. Isso já fornece 7 professores distintos em B.
  • Não pode haver mais professores em B além desses 7, porque cada professor em B necessariamente participa de uma segunda banca (já contada entre as outras 7), então todos os professores de B estão associados a uma das 7 outras bancas. Assim o número de professores em B é exatamente 7.

Passo 6

Como a escolha da banca B foi arbitrária, todas as 8 bancas têm o mesmo tamanho 7. Isso é consistente com a soma total \sum k_i=56 porque 8\cdot 7=56.

Resposta

a) x=28
b) Cada banca tem 7 professores.

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