Em uma escola,
professores se distribuem em 8 bancas examinadoras de modo que cada professor participa de, exatamente, duas bancas e cada duas bancas têm exatamente um professor em comum.
a) Calcule
.
b) Determine quantos professores há em cada banca.
a) Calcule
b) Determine quantos professores há em cada banca.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
-
Informações dadas:
- Há
professores (esse é o número que precisamos descobrir). - Essas
pessoas se distribuem em bancas examinadoras. - Cada professor participa de, exatamente, duas bancas. Vou chamar esse número de aparições por professor de
, então . - Cada duas bancas têm exatamente um professor em comum (ou seja, a interseção de quaisquer duas bancas contém exatamente um professor).
- Há
-
Perguntas:
- (a) Calcular
. - (b) Determinar quantos professores há em cada banca (ou seja, o tamanho de cada banca).
- (a) Calcular
Passo 2
Vamos contar, de duas maneiras diferentes, quantas interseções há entre pares de bancas. Isso é um clássico método de contagem dupla (double counting): contamos o mesmo conjunto de objetos de duas formas e igualamos os resultados.
Primeira forma (contando pares de bancas):
- O número de pares distintos de bancas entre
bancas é
- Pela hipótese, cada par de bancas tem exatamente
professor em comum, então o total de interseções (contando uma unidade para cada par de bancas) é .
Segunda forma (contando por professor):
- Cada professor participa exatamente de
bancas. - Para um professor fixo, em quantos pares de bancas ele aparece como interseção? Se ele está em exatamente
bancas, então ele determina exatamente par de bancas (aquelas duas bancas onde ele aparece). - Portanto, somando sobre todos os
professores, o total de pares de bancas contados dessa forma é .
Igualando as duas contagens (as duas maneiras contam o mesmo conjunto de interseções entre pares de bancas), obtemos
Passo 3
Concluímos então a parte (a): o número total de professores é
. Vou agora explicar e deduzir quantos professores há em cada banca.
Passo 4
Contagem do total de incidências (professor em banca):
- Seja
o número de professores na banca (para ). O total de “incidências” (pares (professor, banca) com professor participando daquela banca) é
- Por outro lado, cada um dos
professores aparece em exatamente bancas, então o total de incidências também é
Logo
- A média de professores por banca é
. Mas precisamos mostrar que cada banca tem exatamente (não apenas em média).
Passo 5
Mostrando que cada banca tem exatamente
professores:
- Pegue uma banca fixa
. Ela intersecciona cada uma das outras bancas em exatamente professor (pela hipótese). - Esses professores de interseção entre
e as outras bancas são todos distintos entre si. Justificativa: suponha que um mesmo professor fosse o elemento comum de e de duas outras bancas distintas e . Então estaria em , ou seja, em bancas, o que contradiz a hipótese de que cada professor participa de exatamente bancas. - Portanto, para cada uma das
outras bancas há um professor distinto em que faz a interseção com ela. Isso já fornece professores distintos em . - Não pode haver mais professores em
além desses , porque cada professor em necessariamente participa de uma segunda banca (já contada entre as outras ), então todos os professores de estão associados a uma das outras bancas. Assim o número de professores em é exatamente .
Passo 6
Como a escolha da banca
foi arbitrária, todas as
bancas têm o mesmo tamanho
. Isso é consistente com a soma total
porque
.
Resposta
a)
b) Cada banca tem professores.
b) Cada banca tem