Formar a diferença das séries divergentes
e
e, analisar sua convergência.
Passo 1
O enunciado nos dá duas séries divergentes e pede que se forme a diferença termo a termo entre elas e se analise a convergência. Dados relevantes:
- Série dos ímpares:
. - Série dos pares:
.
Pergunta que vamos responder: formar a série diferença termo a termo
e determinar se essa nova série converge ou diverge; se convergir, determinar seu valor.
Passo 2
Confirmar rapidamente que cada série original diverge (só para ter claro o ponto de partida).
- A série
é a metade da série harmônica parcial: para todo ,
onde
é o
-ésimo número harmônico. Como
diverge, também
diverge.
- A série
diverge porque seus termos são maiores que os termos correspondentes da série : para todo ,
e por comparação com
(divergente) temos divergência também para
.
Passo 3
Formar a série diferença termo a termo e simplificar o termo geral. Definimos
Fazendo o mínimo de álgebra (colocando em mesmo denominador):
Observação: cada
e é mais simples de comparar com séries conhecidas.
Passo 4
Testar convergência por comparação com uma p-série. Note que, para
,
Então
Como
(p-série com
) converge, pelo teste de comparação a série
converge. Como os termos
já são positivos, essa é convergência absoluta (na verdade aqui não há sinal alternado: os termos são positivos).
Passo 5
Calcular o valor da soma. Considere a soma parcial até
:
Escrevendo as somas de ímpares e pares em termos dos números harmônicos
:
Mas
. Logo
Portanto
Passo 6
Determinar o limite de
quando
. Uma maneira elementar é interpretar a soma
O termo à direita é uma soma de Riemann para a função
no intervalo
: quando
essa soma tende à integral
Logo
(Alternativamente, poderia-se usar a expansão assintótica
e concluir que
.)
Passo 7
Resumo do que demonstramos:
- A série diferença termo a termo é
- Essa série converge por comparação com uma p-série (
), portanto converge absolutamente. - O valor da soma é
.
Resposta
A série
converge absolutamente.