Formar a diferença das séries divergentes \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2 n-1} e \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2 n} e, analisar sua convergência.

Passo 1

O enunciado nos dá duas séries divergentes e pede que se forme a diferença termo a termo entre elas e se analise a convergência. Dados relevantes:
  • Série dos ímpares: \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n-1}.
  • Série dos pares: \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n}.
    Pergunta que vamos responder: formar a série diferença termo a termo
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}\right)
e determinar se essa nova série converge ou diverge; se convergir, determinar seu valor.

Passo 2

Confirmar rapidamente que cada série original diverge (só para ter claro o ponto de partida).
  • A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n} é a metade da série harmônica parcial: para todo N,
\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{2n}=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}=\frac{1}{2}H_N,
onde H_N é o N-ésimo número harmônico. Como \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} diverge, também \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n} diverge.
  • A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n-1} diverge porque seus termos são maiores que os termos correspondentes da série \sum 1/(2n): para todo n,
\frac{1}{2n-1}\ge\frac{1}{2n},
e por comparação com \sum 1/(2n) (divergente) temos divergência também para \sum 1/(2n-1).

Passo 3

Formar a série diferença termo a termo e simplificar o termo geral. Definimos
a_n=\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}.
Fazendo o mínimo de álgebra (colocando em mesmo denominador):
a_n=\frac{2n-(2n-1)}{2n(2n-1)}=\frac{1}{2n(2n-1)}.
Observação: cada a_n>0 e é mais simples de comparar com séries conhecidas.

Passo 4

Testar convergência por comparação com uma p-série. Note que, para n\ge1,
2n-1\ge n \quad\Rightarrow\quad 2n(2n-1)\ge 2n\cdot n=2n^2.
Então
0<a_n=\frac{1}{2n(2n-1)}\le\frac{1}{2n^2}.
Como \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} (p-série com p=2) converge, pelo teste de comparação a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n converge. Como os termos a_n já são positivos, essa é convergência absoluta (na verdade aqui não há sinal alternado: os termos são positivos).

Passo 5

Calcular o valor da soma. Considere a soma parcial até N:
S_N=\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}\right).
Escrevendo as somas de ímpares e pares em termos dos números harmônicos H_k=\sum_{m=1}^{k}\frac{1}{m}:
\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{2n-1}+\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{2n}=H_{2N}.
Mas \displaystyle \sum_{n=1}^{N}\frac{1}{2n}=\frac{1}{2}H_N. Logo
\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{2n-1}=H_{2N}-\frac{1}{2}H_N.
Portanto
S_N=\left(H_{2N}-\frac{1}{2}H_N\right)-\frac{1}{2}H_N=H_{2N}-H_N.

Passo 6

Determinar o limite de S_N quando N\to\infty. Uma maneira elementar é interpretar a soma
H_{2N}-H_N=\sum_{k=1}^{N}\frac{1}{N+k}=\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N}\frac{1}{1+k/N}.
O termo à direita é uma soma de Riemann para a função f(x)=\dfrac{1}{1+x} no intervalo [0,1]: quando N\to\infty essa soma tende à integral
\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x}\,dx=\left[\ln(1+x)\right]_{0}^{1}=\ln 2.
Logo
\lim_{N\to\infty}S_N=\ln 2.
(Alternativamente, poderia-se usar a expansão assintótica H_n=\ln n+\gamma+o(1) e concluir que H_{2N}-H_N\to\ln 2.)

Passo 7

Resumo do que demonstramos:
  • A série diferença termo a termo é
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}\right)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n(2n-1)}.
  • Essa série converge por comparação com uma p-série ( p=2), portanto converge absolutamente.
  • O valor da soma é \ln 2.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}\right) converge absolutamente.
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}\right)=\ln 2

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