Formas vetoriais do Teorema de Green. Sejam C uma curva fechada, simples, continua por partes, orientada positivamente e \mathrm{D} a região delimitada por C . Sejam P e Q funções definas num aberto do plano que contem D e de classe \mathrm{C}^{1}. Considere o campo vetorial \overrightarrow{\mathrm{F}}=\mathrm{P} \vec{i}+\mathrm{Q} \vec{j}. Mostre, respectivamente, a primeira e segunda versão vetorial do Teorema de Green. Isto é, prove:
(a) Teorema de Stokes no plano: \quad \oint_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}=\iint_{D}(\operatorname{rot} \vec{F}) \cdot \vec{k} d A
Passo 1
O enunciado pede para provar duas fórmões vetoriais de Green no plano: a versão de Stokes (circulação) e a versão do teorema da divergência (fluxo). Vamos usar como ponto de partida o enunciado clássico do Teorema de Green em coordenadas cartesianas: se P(x,y) e Q(x,y) são de classe \mathrm{C}^1 num aberto que contém a região D com fronteira C orientada positivamente, então