Formas vetoriais do Teorema de Green. Sejam C uma curva fechada, simples, continua por partes, orientada positivamente e \mathrm{D} a região delimitada por C . Sejam P e Q funções definas num aberto do plano que contem D e de classe \mathrm{C}^{1}. Considere o campo vetorial \overrightarrow{\mathrm{F}}=\mathrm{P} \vec{i}+\mathrm{Q} \vec{j}. Mostre, respectivamente, a primeira e segunda versão vetorial do Teorema de Green. Isto é, prove:
(a) Teorema de Stokes no plano: \quad \oint_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}=\iint_{D}(\operatorname{rot} \vec{F}) \cdot \vec{k} d A

Passo 1

O enunciado pede para provar duas fórmões vetoriais de Green no plano: a versão de Stokes (circulação) e a versão do teorema da divergência (fluxo). Vamos usar como ponto de partida o enunciado clássico do Teorema de Green em coordenadas cartesianas: se P(x,y) e Q(x,y) são de classe \mathrm{C}^1 num aberto que contém a região D com fronteira C orientada positivamente, então
\oint_{C}P\,dx + Q\,dy \;=\;\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.
Para a segunda versão, usaremos a mesma ferramenta e a expressão do fluxo de \vec F através de C.

Passo 2

Prova da versão de Stokes no plano.
Definimos o campo \vec F=P\,\vec i+Q\,\vec j. A rotação de \vec F em três dimensões é
\operatorname{rot}\vec F =\nabla\times\vec F =\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k\\\ \partial_x & \partial_y & \partial_z\\\ P & Q & 0 \end{vmatrix} =(0,0,\partial_x Q-\partial_y P),
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(\operatorname{rot}\vec F)\cdot\vec k =\partial_x Q-\partial_y P.
Substituindo na forma escalar do Teorema de Green, temos
\oint_{C}\vec F\cdot d\vec r =\oint_{C}P\,dx+Q\,dy =\iint_{D}\bigl(\partial_x Q-\partial_y P\bigr)\,dA =\iint_{D}(\operatorname{rot}\vec F)\cdot\vec k\,dA.

Passo 3

Prova da versão do teorema da divergência no plano.
O fluxo de \vec F pela curva C com orientação positiva (região à esquerda) é dado por
\oint_{C}\vec F\cdot\vec n\,ds,
onde \vec n é o versor normal externo. Em coordenadas planas verifica-se que
\vec n\,ds = (dy,\,-dx),
portanto
\vec F\cdot\vec n\,ds =P\,dy - Q\,dx.
Aplicando novamente o teorema de Green escalar, trocando P\leftrightarrow -Q e Q\leftrightarrow P, obtemos
\oint_{C}P\,dy - Q\,dx =\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial }{\partial x}(P)+\frac{\partial }{\partial y}(Q)\Bigr)\,dA =\iint_{D}\bigl(\partial_x P+\partial_y Q\bigr)\,dA.
Reconhecemos a divergência de \vec F:
\operatorname{div}\vec F =\nabla\cdot\vec F =\partial_x P+\partial_y Q.
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\oint_{C}\vec F\cdot\vec n\,ds =\iint_{D}\operatorname{div}\vec F\,dA.

Resposta

(a) \displaystyle \oint_{C}\vec F\cdot d\vec r \;=\;\iint_{D}(\operatorname{rot}\vec F)\cdot\vec k\,dA.
(b) \displaystyle \oint_{C}\vec F\cdot\vec n\,ds \;=\;\iint_{D}\operatorname{div}\vec F\,dA.

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