Calcule
\oint_{C} \frac{-y^{3} d x+x y^{2} d y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}
onde C é a elipse x^{2}+4 y^{2}=4 orientada no sentido anti-horário. Note que não se aplica o teorema de Green. (Sugestão: Use o teorema de Green com furos)

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\oint_{C}\frac{-y^{3}\,dx + x\,y^{2}\,dy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}
onde C é a elipse x^{2}+4y^{2}=4 orientada anti-horário. O integrando é singular em (0,0), logo não podemos aplicar diretamente o teorema de Green em todo o interior de C. A ideia é retirar um pequeno disco de raio \varepsilon centrado na origem, aplicar o teorema de Green no anel entre a elipse e esse círculo, e depois fazer \varepsilon\to0.

Passo 2

Definimos
P(x,y) = -\frac{y^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}, \quad Q(x,y) = \frac{x\,y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
No domínio anular (fora da origem) calculamos
\frac{\partial Q}{\partial x} = y^{2}(x^{2}+y^{2})^{-2} -4x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})^{-3},
\frac{\partial P}{\partial y} = -3y^{2}(x^{2}+y^{2})^{-2} +4y^{4}(x^{2}+y^{2})^{-3}.
Subtraindo, nota-se que
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =4y^{2}(x^{2}+y^{2})^{-2}-4y^{2}(x^{2}+y^{2})^{-2}=0.
Portanto a integral dupla de \partial Q/\partial x-\partial P/\partial y sobre o anel é zero.

Passo 3

Pelo teorema de Green no anel, a soma das integrais de contorno é zero:
\oint_{C}\!P\,dx+Q\,dy \;+\; \underbrace{\oint_{C_{\varepsilon}}P\,dx+Q\,dy}_{\text{orientado CW}} \;=\;0.
Como C_{\varepsilon} na aplicação de Green aparece com orientação horário, isso equivale a
\oint_{C}(P\,dx+Q\,dy) =\;\oint_{C_{\varepsilon}}(P\,dx+Q\,dy)\quad\text{(orientado CCW).}
Logo a integral na elipse é igual à integral numa circunferência de raio \varepsilon orientada positivamente, quando \varepsilon\to0.

Passo 4

Parametrizamos a circunferência pequena por
x=\varepsilon\cos t,\quad y=\varepsilon\sin t,\quad t\in[0,2\pi].
Então
dx=-\varepsilon\sin t\,dt,\quad dy=\varepsilon\cos t\,dt, \quad x^{2}+y^{2}=\varepsilon^{2}.
No integrando:
-y^{3}\,dx = -(\varepsilon\sin t)^{3}\bigl(-\varepsilon\sin t\,dt\bigr) = \varepsilon^{4}\sin^{4}t\,dt,
x\,y^{2}\,dy = (\varepsilon\cos t)(\varepsilon\sin t)^{2}(\varepsilon\cos t\,dt) = \varepsilon^{4}\cos^{2}t\sin^{2}t\,dt.
Somando e dividindo por \varepsilon^{4}
\sin^{4}t+\cos^{2}t\sin^{2}t =\sin^{2}t\bigl(\sin^{2}t+\cos^{2}t\bigr) =\sin^{2}t.
Portanto
\oint_{C_{\varepsilon}}\frac{-y^{3}dx + x\,y^{2}dy}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}t\,dt =\pi.

Resposta

\displaystyle \pi

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