Formas vetoriais do Teorema de Green. Sejam
uma curva fechada, simples, continua por partes, orientada positivamente
a região delimitada por C . Sejam P e Q funções definas num aberto do plano que contem D e de classe
. Considere o campo vetorial
. Mostre, respectivamente, a primeira e segunda versão vetorial do Teorema de Green. Isto é, prove:
(b) Teorema da Divergência no plano:
.
(b) Teorema da Divergência no plano:
Passo 1
Vamos recapitular o que queremos provar. Seja
uma região do plano com fronteira
fechada e orientada positivamente, e seja
um campo de classe
num aberto que contém
. Queremos mostrar que
onde
. Para isso, vamos usar a forma clássica de Green para circulação, que é
e mostrar que
se reduz a uma combinação de
e
.
Passo 2
Num elemento infinitesimal de curva orientada positivamente, o vetor tangente é
. Girando esse vetor
no sentido horário obtemos um vetor normal que aponta para fora de
, sem normalizar, dado por
Como
é o comprimento do trecho, concluímos
Passo 3
Substituindo na integral de fluxo, fica
Agora note que isso é da forma
com
Pela forma de Green temos
Aqui
Passo 4
Reunindo os resultados,
que é exatamente o Teorema da Divergência no plano.