Formas vetoriais do Teorema de Green. Sejam C uma curva fechada, simples, continua por partes, orientada positivamente e \mathrm{D} a região delimitada por C . Sejam P e Q funções definas num aberto do plano que contem D e de classe \mathrm{C}^{1}. Considere o campo vetorial \overrightarrow{\mathrm{F}}=\mathrm{P} \vec{i}+\mathrm{Q} \vec{j}. Mostre, respectivamente, a primeira e segunda versão vetorial do Teorema de Green. Isto é, prove:
(b) Teorema da Divergência no plano: \oint_{C} \vec{F} \cdot \vec{n} \mathrm{~d} s=\iint_{D} \operatorname{div} \vec{F} \mathrm{dA}.

Passo 1

Vamos recapitular o que queremos provar. Seja D uma região do plano com fronteira C fechada e orientada positivamente, e seja
\vec F = P\,\vec i + Q\,\vec j
um campo de classe C^1 num aberto que contém D. Queremos mostrar que
\oint_{C}\vec F\cdot\vec n\,ds \;=\;\iint_{D}\operatorname{div}\vec F\,dA,
onde \operatorname{div}\vec F = \frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}. Para isso, vamos usar a forma clássica de Green para circulação, que é
\oint_{C}P\,dx + Q\,dy \;=\;\iint_{D}\Bigl(\partial_x Q - \partial_y P\Bigr)\,dA,
e mostrar que \vec F\cdot\vec n\,ds se reduz a uma combinação de dx e dy.

Passo 2

Num elemento infinitesimal de curva orientada positivamente, o vetor tangente é (dx,dy). Girando esse vetor 90\circ no sentido horário obtemos um vetor normal que aponta para fora de D, sem normalizar, dado por
(dy,\,-dx).
Como ds é o comprimento do trecho, concluímos
\vec n\,ds = \bigl(dy,\,-dx\bigr) \quad\Longrightarrow\quad \vec F\cdot\vec n\,ds = P\,dy - Q\,dx.

Passo 3

Substituindo na integral de fluxo, fica
\oint_{C}\vec F\cdot\vec n\,ds =\oint_{C}\bigl(P\,dy - Q\,dx\bigr).
Agora note que isso é da forma \oint_{C}L\,dx + M\,dy com
L = -\,Q, \quad M = P.
Pela forma de Green temos
\oint_{C}L\,dx + M\,dy =\iint_{D}\bigl(\partial_x M - \partial_y L\bigr)\,dA.
Aqui
\partial_x M - \partial_y L =\partial_x P - \partial_y(-Q) =\partial_x P + \partial_y Q =\operatorname{div}\vec F.

Passo 4

Reunindo os resultados,
\oint_{C}\vec F\cdot\vec n\,ds =\iint_{D}\operatorname{div}\vec F\,dA,
que é exatamente o Teorema da Divergência no plano.

Resposta

\oint_{C}\vec F\cdot\vec n\,ds = \iint_{D}\operatorname{div}\vec F\,dA.

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