Formou-se gelo em um pequeno lago e o regime estacionário foi atingido com o ar acima do gelo a
e o fundo do lago a
. Se a profundidade total do gelo + água é
, qual é a espessura do gelo? (Suponha que a condutividade térmica do gelo é 0,40 e a da água é
.)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- O enunciado pede: qual é a espessura do gelo (buscar o valor em metros).
- Dados fornecidos:
- Temperatura do ar acima do gelo:
. (Interpretação: o enunciado informou , mas para existir gelo em regime estacionário com o fundo do lago a a temperatura do ar deve ser menor que ; adoto aqui , que é o caso físico usual desse tipo de problema.) - Temperatura do fundo do lago:
. - Espessura total (gelo + água):
. - Condutividade térmica do gelo:
. - Condutividade térmica da água:
.
- Temperatura do ar acima do gelo:
Observação: a interface gelo–água (superfície de fusão) está à temperatura de
. Esse fato será usado na modelagem do problema.
Passo 2
Modelo físico e hipótese de regime estacionário (explicação didática).
-
Em regime estacionário a taxa de calor que atravessa a camada de água (de baixo para cima) é igual à taxa de calor que atravessa a camada de gelo (de cima para baixo). Não há acúmulo de energia no interior: fluxo térmico é o mesmo em toda a pilha.
-
A transferência de calor dentro de cada camada (gelo ou água) será por condução e pode ser descrita pela lei de Fourier em uma dimensão (plano paralelo), na formaonde:
-
é o fluxo de calor por unidade de área (unidades: ), -
é a condutividade térmica do material ( ), -
é a diferença de temperatura através da camada ( ), -
é a espessura da camada (m).
-
-
Denotemos por
a espessura do gelo (o que o exercício pede). Então a espessura da água será . -
Temperaturas relevantes:
- topo (ar):
, - interface gelo–água:
, - fundo do lago:
.
- topo (ar):
Passo 3
Escrever a expressão do fluxo térmico em cada camada.
-
Fluxo através do gelo (de
para ): Aqui explicando: usamospois é a queda de temperatura atravessando o gelo (valor positivo ). -
Fluxo através da água (de
para ):
Passo 4
Igualar os fluxos (condição de regime estacionário) e montar a equação para
.
-
Igualando os dois
: -
Substituindo
e :
Passo 5
Resolver a equação passo a passo (álgebra detalhada).
-
Calcule os produtos numéricos nas frações:Então a equação fica
-
Cruzando multiplicando:
-
Expandindo o lado esquerdo:Ou seja
-
Agrupando termos em
: -
Logo
Passo 6
Fazer o cálculo numérico sem calculadora e obter o resultado.
-
Simplificamos a fração:Dividindo numerador e denominador por
: -
Agora calcule a divisão
. Podemos fazer uma aproximação por divisão longa: -
cabe em uma vez, resto . - Resto
corresponde a na casa decimal: - Logo
-
-
Arredondando de forma prática para duas casas decimais:
Passo 7
Interpretação rápida do resultado e plausibilidade.
- Obtivemos
, ou seja, a maior parte dos totais está em gelo e resta cerca de de água abaixo do gelo. Isso é plausível: a condutividade do gelo é maior que a da água, então, para manter o mesmo fluxo com uma queda de temperatura maior no gelo ( ) do que na água ( ), a espessura do gelo tende a ser maior.