Formou-se gelo em um pequeno lago e o regime estacionário foi atingido com o ar acima do gelo a 5,0^{\circ} \mathrm{C} e o fundo do lago a 4,0^{\circ} \mathrm{C}. Se a profundidade total do gelo + água é 1,4 \mathrm{~m}, qual é a espessura do gelo? (Suponha que a condutividade térmica do gelo é 0,40 e a da água é 0,12 \mathrm{cal} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{C}^{\circ} \cdot \mathrm{s}.)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado pede: qual é a espessura do gelo (buscar o valor em metros).
  • Dados fornecidos:
    • Temperatura do ar acima do gelo: -5{,}0^\circ\mathrm{C}. (Interpretação: o enunciado informou 5{,}0^\circ\mathrm{C}, mas para existir gelo em regime estacionário com o fundo do lago a 4{,}0^\circ\mathrm{C} a temperatura do ar deve ser menor que 0^\circ\mathrm{C}; adoto aqui -5{,}0^\circ\mathrm{C}, que é o caso físico usual desse tipo de problema.)
    • Temperatura do fundo do lago: 4{,}0^\circ\mathrm{C}.
    • Espessura total (gelo + água): 1{,}4\\ \mathrm{m}.
    • Condutividade térmica do gelo: k_{\text{gelo}} = 0{,}40\\ \mathrm{cal}/(\mathrm{m}\cdot^\circ\mathrm{C}\cdot\mathrm{s}).
    • Condutividade térmica da água: k_{\text{água}} = 0{,}12\\ \mathrm{cal}/(\mathrm{m}\cdot^\circ\mathrm{C}\cdot\mathrm{s})á.
Observação: a interface gelo–água (superfície de fusão) está à temperatura de 0{,}0^\circ\mathrm{C}. Esse fato será usado na modelagem do problema.

Passo 2

Modelo físico e hipótese de regime estacionário (explicação didática).
  • Em regime estacionário a taxa de calor que atravessa a camada de água (de baixo para cima) é igual à taxa de calor que atravessa a camada de gelo (de cima para baixo). Não há acúmulo de energia no interior: fluxo térmico é o mesmo em toda a pilha.
  • A transferência de calor dentro de cada camada (gelo ou água) será por condução e pode ser descrita pela lei de Fourier em uma dimensão (plano paralelo), na forma
    q = k\,\frac{\Delta T}{L},
    onde:
    • q é o fluxo de calor por unidade de área (unidades: \mathrm{cal}/(\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s})),
    • k é a condutividade térmica do material ( \mathrm{cal}/(\mathrm{m}\cdot^\circ\mathrm{C}\cdot\mathrm{s})),
    • \Delta T é a diferença de temperatura através da camada ( ^{\circ}\mathrm{C}),
    • L é a espessura da camada (m).
  • Denotemos por x a espessura do gelo (o que o exercício pede). Então a espessura da água será 1{,}4 - x.
  • Temperaturas relevantes:
    • topo (ar): T_{\text{ar}} = -5{,}0^\circ\mathrm{C},
    • interface gelo–água: T_{\text{int}} = 0{,}0^\circ\mathrm{C},
    • fundo do lago: T_{\text{fundo}} = 4{,}0^\circ\mathrm{C}.

Passo 3

Escrever a expressão do fluxo térmico em cada camada.
  • Fluxo através do gelo (de T_{\text{int}}=0{,}0^\circ\mathrm{C} para T_{\text{ar}}=-5{,}0^\circ\mathrm{C}):
    q = k_{\text{gelo}}\;\frac{T_{\text{int}} - T_{\text{ar}}}{x} = k_{\text{gelo}}\;\frac{0 - (-5{,}0)}{x} = k_{\text{gelo}}\;\frac{5{,}0}{x}.
    Aqui explicando: usamos T_{\text{int}}-T_{\text{ar}} pois é a queda de temperatura atravessando o gelo (valor positivo 5{,}0^\circ\mathrm{C}).
  • Fluxo através da água (de T_{\text{fundo}}=4{,}0^\circ\mathrm{C} para T_{\text{int}}=0{,}0^\circ\mathrm{C}):
    q = k_{\text{água}}\;\frac{T_{\text{fundo}} - T_{\text{int}}}{1{,}4 - x} = k_{\text{água}}\;\frac{4{,}0}{1{,}4 - x}.áá

Passo 4

Igualar os fluxos (condição de regime estacionário) e montar a equação para x.
  • Igualando os dois q:
    k_{\text{gelo}}\;\frac{5{,}0}{x} \;=\; k_{\text{água}}\;\frac{4{,}0}{1{,}4 - x}.á
  • Substituindo k_{\text{gelo}}=0{,}40 e k_{\text{água}}=0{,}12á:
    0{,}40\;\frac{5{,}0}{x} \;=\; 0{,}12\;\frac{4{,}0}{1{,}4 - x}.

Passo 5

Resolver a equação passo a passo (álgebra detalhada).
  • Calcule os produtos numéricos nas frações:
    0{,}40\cdot 5{,}0 = 2{,}0, \qquad 0{,}12\cdot 4{,}0 = 0{,}48.
    Então a equação fica
    \frac{2{,}0}{x} \;=\; \frac{0{,}48}{1{,}4 - x}.
  • Cruzando multiplicando:
    2{,}0\,(1{,}4 - x) \;=\; 0{,}48\,x.
  • Expandindo o lado esquerdo:
    2{,}0\cdot 1{,}4 - 2{,}0\,x = 0{,}48\,x.
    Ou seja
    2{,}8 - 2{,}0\,x = 0{,}48\,x.
  • Agrupando termos em x:
    2{,}8 = 2{,}0\,x + 0{,}48\,x = 2{,}48\,x.
  • Logo
    x = \frac{2{,}8}{2{,}48}.

Passo 6

Fazer o cálculo numérico sem calculadora e obter o resultado.
  • Simplificamos a fração:
    \frac{2{,}8}{2{,}48} = \frac{280}{248}.
    Dividindo numerador e denominador por 8:
    \frac{280}{248} = \frac{35}{31}.
  • Agora calcule a divisão 35/31. Podemos fazer uma aproximação por divisão longa:
    • 31 cabe em 35 uma vez, resto 35-31=4.
    • Resto 4 corresponde a 4{,}0 na casa decimal: 4{,}0/31 \approx 0{,}1290\ldots
    • Logo 35/31 \approx 1{,}12903\ldots
  • Arredondando de forma prática para duas casas decimais:
    x \approx 1{,}13\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Interpretação rápida do resultado e plausibilidade.
  • Obtivemos x\approx 1{,}13\\ \mathrm{m}, ou seja, a maior parte dos 1{,}4\\ \mathrm{m} totais está em gelo e resta cerca de 1{,}4 - 1{,}13 = 0{,}27\\ \mathrm{m} de água abaixo do gelo. Isso é plausível: a condutividade do gelo é maior que a da água, então, para manter o mesmo fluxo com uma queda de temperatura maior no gelo ( 5{,}0^\circ\mathrm{C}) do que na água ( 4{,}0^\circ\mathrm{C}), a espessura do gelo tende a ser maior.

Resposta

1{,}13\\ \mathrm{m}

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