A fórmula para 1^{2}+2^{2}+\cdots+n^{2} pode ser deduzida como segue. Começamos com a fórmula
(k+1)^{3}-k^{3}=3 k^{2}+3 k+1 .
Escrevendo esta fórmula para k=1,2, \cdots, n e adicionando, obtemos:
\begin{aligned} 2^{3}-1^{3} & =3 \cdot 1^{2}+3 \cdot 1+1 \\\\ 3^{3}-2^{3} & =3 \cdot 2^{2}+3 \cdot 2+1 \\\ \vdots & = \\\ (n+1)^{3}-n^{3} & =3 \cdot n^{2}+3 \cdot n+1 \\\\ ----- & --------------------- \\\ (n+1)^{3}-1^{3} & =3\left[1^{2}+2^{2}+\cdots+n^{2}\right]+[1+2+\cdots+n]+n \end{aligned}
Deste modo, podemos encontrar \sum_{k=1}^{n} k^{2} se já conhecemos \sum_{k=1}^{n} k (que poderia ter sido obtido da mesma fórmula). Use este método para encontrar:
1^{3}+2^{3}+\cdots+n^{3};

Passo 1

O que o problema pede e o que temos dado.
  • O enunciado pede para encontrar a soma dos cubos \sum_{k=1}^{n} k^{3} = 1^{3}+2^{3}+\cdots+n^{3}.
  • Foi mostrado um método que usa identidades do tipo (k+1)^{m}-k^{m} e soma telescópica. No enunciado aparece a identidade (k+1)^{3}-k^{3}=3k^{2}+3k+1,que foi usada para obter a fórmula de \sum k^{2}.
  • Podemos usar o mesmo tipo de ideia (identidade para potências mais altas, somar de k=1 a n e usar soma telescópica) para obter \sum k^{3}.
  • Informação útil que vamos precisar (e que podemos obter com o mesmo método): as somas S_{1}=\sum_{k=1}^{n}k \qquad\text{e}\qquad S_{2}=\sum_{k=1}^{n}k^{2},pois a identidade que vamos usar vai envolver k^{3},k^{2},k e constantes. Não começarei a resolver aqui — só listei o que o enunciado nos dá e o que o problema pede.

Passo 2

Ideia do método e identidade inicial para aplicar.
  • A ideia é escrever uma identidade da forma (k+1)^{m}-k^{m}= (polinômio em k), somar essa identidade para k=1,2,\dots,n e usar o fato de que a soma do lado esquerdo telescopa: \sum_{k=1}^{n}\bigl((k+1)^{m}-k^{m}\bigr)=(n+1)^{m}-1^{m}.
  • Para atingir termos em k^{3} usamos m=4. Expandindo com o binômio de Newton: (k+1)^{4}=k^{4}+4k^{3}+6k^{2}+4k+1,logo (k+1)^{4}-k^{4}=4k^{3}+6k^{2}+4k+1.Esta é a identidade que vamos somar.

Passo 3

Somando a identidade para k=1 até n e escrevendo em termos das somas que conhecemos.
  • Somando ambos os lados de (k+1)^{4}-k^{4}=4k^{3}+6k^{2}+4k+1para k=1,2,\dots,n, o lado esquerdo telescopa e dá \sum_{k=1}^{n}\bigl((k+1)^{4}-k^{4}\bigr)=(n+1)^{4}-1^{4}=(n+1)^{4}-1.
  • O lado direito, ao somar, vira combinações das somas que chamaremos S_{3}=\sum_{k=1}^{n}k^{3},\qquad S_{2}=\sum_{k=1}^{n}k^{2},\qquad S_{1}=\sum_{k=1}^{n}k,mais a soma das constantes. Assim obtemos a equação (n+1)^{4}-1=4S_{3}+6S_{2}+4S_{1}+n,porque a soma de 1 para k=1 a n é n.

Passo 4

Recordando/obtendo S_{1} e S_{2} — vou mostrar como se obtêm rapidamente, pois precisamos deles para isolar S_{3}.
  • Para S_{1}=\sum_{k=1}^{n}k (a soma dos primeiros inteiros): usar a identidade (k+1)^{2}-k^{2}=2k+1 e somar de k=1 a n. O lado esquerdo telescopa para (n+1)^{2}-1 e o lado direito é 2S_{1}+n. Então
    (n+1)^{2}-1 = 2S_{1}+n.
    Resolvendo para S_{1}:
    2S_{1}=(n+1)^{2}-1-n=n^{2}+2n+1-1-n=n^{2}+n,
    portanto
    S_{1}=\frac{n(n+1)}{2}.
  • Para S_{2}=\sum_{k=1}^{n}k^{2} podemos usar a identidade do enunciado, que já foi feita no problema base: somando
    (k+1)^{3}-k^{3}=3k^{2}+3k+1
    de k=1 a n obtemos
    (n+1)^{3}-1 = 3S_{2}+3S_{1}+n.
    Substituindo S_{1}=\dfrac{n(n+1)}{2} e resolvendo para S_{2}:
    3S_{2}=(n+1)^{3}-1-3\cdot\frac{n(n+1)}{2}-n.
    Faço as contas com calma:
    (n+1)^{3}-1=n^{3}+3n^{2}+3n+1-1=n^{3}+3n^{2}+3n,
    então
    3S_{2}=n^{3}+3n^{2}+3n - \frac{3n(n+1)}{2}-n.
    Colocando tudo sobre denominador 2:
    3S_{2}=\frac{2n^{3}+6n^{2}+6n -3n(n+1)-2n}{2} =\frac{2n^{3}+6n^{2}+6n-3n^{2}-3n-2n}{2}.
    Simplificando:
    3S_{2}=\frac{2n^{3}+3n^{2}+n}{2}=\frac{n(2n^{2}+3n+1)}{2}.
    Observe que 2n^{2}+3n+1=(n+1)(2n+1), logo
    3S_{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{2}.
    Portanto
    S_{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
    (Esta é a fórmula clássica para a soma dos quadrados.)

Passo 5

Voltando à equação para S_{3} e substituindo S_{1} e S_{2}.
  • A equação obtida no Passo 3 foi (n+1)^{4}-1=4S_{3}+6S_{2}+4S_{1}+n.Quero isolar S_{3}: 4S_{3}=(n+1)^{4}-1 -6S_{2}-4S_{1}-n.
  • Substituo S_{2}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} e S_{1}=\dfrac{n(n+1)}{2}. Então 6S_{2}=n(n+1)(2n+1) e 4S_{1}=2n(n+1). Assim 4S_{3}=(n+1)^{4}-1 - n(n+1)(2n+1) - 2n(n+1) - n.
  • Faço as contas passo a passo. Primeiro expando (n+1)^{4}-1: (n+1)^{4}-1=n^{4}+4n^{3}+6n^{2}+4n+1-1=n^{4}+4n^{3}+6n^{2}+4n.Então 4S_{3}=n^{4}+4n^{3}+6n^{2}+4n - n(n+1)(2n+1) - 2n(n+1) - n.
  • Agrupo os termos em n quando possível: 4n - n = 3n, e somo os dois termos com fator n(n+1): n(n+1)(2n+1) + 2n(n+1) = n(n+1)\bigl((2n+1)+2\bigr) = n(n+1)(2n+3).Então 4S_{3}=n^{4}+4n^{3}+6n^{2}+3n - n(n+1)(2n+3).
  • Expando n(n+1)(2n+3): n(n+1)(2n+3)=n(2n^{2}+5n+3)=2n^{3}+5n^{2}+3n.Subtraindo: 4S_{3}=\bigl(n^{4}+4n^{3}+6n^{2}+3n\bigr)-\bigl(2n^{3}+5n^{2}+3n\bigr).Simplificando termo a termo: 4S_{3}=n^{4}+(4-2)n^{3}+(6-5)n^{2}+(3-3)n=n^{4}+2n^{3}+n^{2}.
  • Factorizo: 4S_{3}=n^{2}\bigl(n^{2}+2n+1\bigr)=n^{2}(n+1)^{2}.Assim S_{3}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}.

Passo 6

Interpretação e dica para a prova.
  • O resultado ficou muito bonito: a soma dos cubos é o quadrado da soma dos primeiros inteiros. Em notação: \sum_{k=1}^{n}k^{3}=\left(\sum_{k=1}^{n}k\right)^{2}.
  • Dica prática para prova: você pode memorizar a forma compacta \sum_{k=1}^{n}k^{3}=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2},e, se for pedido, recuperar esta identidade rapidamente pelo mesmo método telescópico (usar m=4 como fizemos). Se ficar nervoso, faça o passo de escrever (k+1)^{4}-k^{4}, some e substitua as somas já conhecidas; as contas se simplificam bem.

Resposta

\sum_{k=1}^{n}k^{3}=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}.

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