A fórmula para
pode ser deduzida como segue. Começamos com a fórmula
Escrevendo esta fórmula para
e adicionando, obtemos:
Deste modo, podemos encontrar
se já conhecemos
(que poderia ter sido obtido da mesma fórmula). Use este método para encontrar:
;
Passo 1
O que o problema pede e o que temos dado.
- O enunciado pede para encontrar a soma dos cubos
- Foi mostrado um método que usa identidades do tipo
e soma telescópica. No enunciado aparece a identidade que foi usada para obter a fórmula de . - Podemos usar o mesmo tipo de ideia (identidade para potências mais altas, somar de
a e usar soma telescópica) para obter . - Informação útil que vamos precisar (e que podemos obter com o mesmo método): as somas
pois a identidade que vamos usar vai envolver e constantes. Não começarei a resolver aqui — só listei o que o enunciado nos dá e o que o problema pede.
Passo 2
Ideia do método e identidade inicial para aplicar.
- A ideia é escrever uma identidade da forma
(polinômio em ), somar essa identidade para e usar o fato de que a soma do lado esquerdo telescopa: - Para atingir termos em
usamos . Expandindo com o binômio de Newton: logo Esta é a identidade que vamos somar.
Passo 3
Somando a identidade para
até
e escrevendo em termos das somas que conhecemos.
- Somando ambos os lados de
para , o lado esquerdo telescopa e dá - O lado direito, ao somar, vira combinações das somas que chamaremos
mais a soma das constantes. Assim obtemos a equação porque a soma de para a é .
Passo 4
Recordando/obtendo
e
— vou mostrar como se obtêm rapidamente, pois precisamos deles para isolar
.
-
Para
(a soma dos primeiros inteiros): usar a identidade e somar de a . O lado esquerdo telescopa para e o lado direito é . Então Resolvendo para: portanto -
Para
podemos usar a identidade do enunciado, que já foi feita no problema base: somando dea obtemos Substituindoe resolvendo para : Faço as contas com calma:entãoColocando tudo sobre denominador: Simplificando:Observe que, logo Portanto(Esta é a fórmula clássica para a soma dos quadrados.)
Passo 5
Voltando à equação para
e substituindo
e
.
- A equação obtida no Passo 3 foi
Quero isolar : - Substituo
e . Então e . Assim - Faço as contas passo a passo. Primeiro expando
: Então - Agrupo os termos em
quando possível: , e somo os dois termos com fator : Então - Expando
: Subtraindo: Simplificando termo a termo: - Factorizo:
Assim
Passo 6
Interpretação e dica para a prova.
- O resultado ficou muito bonito: a soma dos cubos é o quadrado da soma dos primeiros inteiros. Em notação:
- Dica prática para prova: você pode memorizar a forma compacta
e, se for pedido, recuperar esta identidade rapidamente pelo mesmo método telescópico (usar como fizemos). Se ficar nervoso, faça o passo de escrever , some e substitua as somas já conhecidas; as contas se simplificam bem.