Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(n x+\sqrt{1-n^{2} x^{2}}\right)}{\ln \left(x+\sqrt{1-x^{2}}\right)};

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 0}\frac{\ln\!\big(n x+\sqrt{1-n^{2} x^{2}}\big)}{\ln\!\big(x+\sqrt{1-x^{2}}\big)},
onde n é um parâmetro constante (fixo). Informações imediatas que vêm do enunciado:
  • A variável que tende a zero é x.
  • O numerador é \ln\!\big(n x+\sqrt{1-n^{2} x^{2}}\big).
  • O denominador é \ln\!\big(x+\sqrt{1-x^{2}}\big).
  • Ao substituir x=0 em cada argumento dentro dos logaritmos obtém-se n\cdot0+\sqrt{1-0}=1 e 0+\sqrt{1-0}=1, portanto tanto o numerador quanto o denominador tendem a \ln(1)=0. Logo a expressão apresenta a forma indeterminada 0/0.

Passo 2

Quando temos uma forma indeterminada do tipo 0/0 podemos usar um resultado clássico do cálculo (o Teorema de l’Hôpital) que compara as derivadas do numerador e do denominador. Antes de aplicar, vale recordar a forma precisa do teorema e as hipóteses necessárias.
Teorema de l’Hôpital (versão usada): se f e g são diferenciáveis numa vizinhança de 0 (exceto possivelmente em 0), f(0)=g(0)=0, e se o limite \lim_{x\to0}\dfrac{f'(x)}{g'(x)} existe finito, então
\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to0}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
Aqui podemos tomar
f(x)=\ln\!\big(n x+\sqrt{1-n^{2} x^{2}}\big),\qquad g(x)=\ln\!\big(x+\sqrt{1-x^{2}}\big),
pois f(0)=g(0)=0. Vou então calcular f'(x) e g'(x).

Passo 3

Derivada do numerador. Defina a função interior
u(x)=n x+\sqrt{1-n^{2} x^{2}}.
Primeiro derivamos a raiz: usando a regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\sqrt{1-n^{2} x^{2}}=\frac{1}{2\sqrt{1-n^{2} x^{2}}}\cdot(-2n^{2}x) =-\frac{n^{2}x}{\sqrt{1-n^{2} x^{2}}}.
Então
u'(x)=\frac{d}{dx}\big(n x\big)+\frac{d}{dx}\sqrt{1-n^{2} x^{2}} =n-\frac{n^{2}x}{\sqrt{1-n^{2} x^{2}}}.
Como f(x)=\ln(u(x)), pela regra da cadeia
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)} =\frac{\,n-\dfrac{n^{2}x}{\sqrt{1-n^{2} x^{2}}}\,}{\,n x+\sqrt{1-n^{2} x^{2}}\,}.

Passo 4

Derivada do denominador. Defina
v(x)=x+\sqrt{1-x^{2}}.
Derivando a raiz:
\frac{d}{dx}\sqrt{1-x^{2}}=\frac{1}{2\sqrt{1-x^{2}}}\cdot(-2x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}.
Logo
v'(x)=1-\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}.
Como g(x)=\ln(v(x)), obtemos
g'(x)=\frac{v'(x)}{v(x)} =\frac{\,1-\dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\,}{\,x+\sqrt{1-x^{2}}\,}.

Passo 5

Agora avaliamos as derivadas no ponto x=0. Note que \sqrt{1-n^{2}\cdot0^{2}}=\sqrt{1}=1 e \sqrt{1-0^{2}}=1. Então:
  • Para f'(x) em x=0:
f'(0)=\frac{\,n-\dfrac{n^{2}\cdot0}{1}\,}{\,n\cdot0+1\,}=\frac{n-0}{0+1}=n.
  • Para g'(x) em x=0:
g'(0)=\frac{\,1-\dfrac{0}{1}\,}{\,0+1\,}=\frac{1-0}{1}=1.

Passo 6

Pelo Teorema de l’Hôpital, como \lim_{x\to0}\dfrac{f'(x)}{g'(x)} existe (e aqui os valores dos limites das derivadas são simplesmente seus valores em 0), segue que
\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(0)}{g'(0)}=\frac{n}{1}=n.
Ou seja, o limite pedido é n.

Passo 7

(Comentário rápido extra — intuição) Uma forma alternativa e intuitiva de ver esse resultado é expandir em séries: para x pequeno tem-se \sqrt{1-n^{2}x^{2}}=1-\tfrac{n^{2}x^{2}}{2}+O(x^{4}), logo o argumento do logaritmo do numerador é 1+n x+O(x^{2}), dando \ln(\cdot)=n x+O(x^{2}). Analogamente o denominador dá \ln(\cdot)=x+O(x^{2}). Dividindo, o termo dominante é n. Isso confirma o resultado obtido por l’Hôpital.

Resposta

n

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