Calcule os seguintes limites:
;
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
onde
é um parâmetro constante (fixo). Informações imediatas que vêm do enunciado:
- A variável que tende a zero é
. - O numerador é
. - O denominador é
. - Ao substituir
em cada argumento dentro dos logaritmos obtém-se e , portanto tanto o numerador quanto o denominador tendem a . Logo a expressão apresenta a forma indeterminada .
Passo 2
Quando temos uma forma indeterminada do tipo
podemos usar um resultado clássico do cálculo (o Teorema de l’Hôpital) que compara as derivadas do numerador e do denominador. Antes de aplicar, vale recordar a forma precisa do teorema e as hipóteses necessárias.
Teorema de l’Hôpital (versão usada): se
e
são diferenciáveis numa vizinhança de
(exceto possivelmente em
),
, e se o limite
existe finito, então
Aqui podemos tomar
pois
. Vou então calcular
e
.
Passo 3
Derivada do numerador. Defina a função interior
Primeiro derivamos a raiz: usando a regra da cadeia,
Então
Como
, pela regra da cadeia
Passo 4
Derivada do denominador. Defina
Derivando a raiz:
Logo
Como
, obtemos
Passo 5
Agora avaliamos as derivadas no ponto
. Note que
e
. Então:
- Para
em :
- Para
em :
Passo 6
Pelo Teorema de l’Hôpital, como
existe (e aqui os valores dos limites das derivadas são simplesmente seus valores em
), segue que
Ou seja, o limite pedido é
.
Passo 7
(Comentário rápido extra — intuição) Uma forma alternativa e intuitiva de ver esse resultado é expandir em séries: para
pequeno tem-se
, logo o argumento do logaritmo do numerador é
, dando
. Analogamente o denominador dá
. Dividindo, o termo dominante é
. Isso confirma o resultado obtido por l’Hôpital.