- QUAL É A FÓRMULA DO CAMPO MAGNÉTICO GERADO POR UMA CORRENTE ELÉTRICA NO CENTRO DE UM SOLENOIDE, E NOMINE CADA COMPONENTE DA FÓRMULA E DE A SUA UNIDADE?
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Fornecer a fórmula do campo magnético gerado por uma corrente elétrica no centro de um solenoide.
- Nomear cada componente (cada símbolo) dessa fórmula e dar a sua unidade.
Informações relevantes (o que normalmente aparece num enunciado sobre solenoide e que vou usar na resolução):
- Pode aparecer o número total de espiras
, o comprimento do solenoide , a corrente elétrica , o raio do solenoide e a permeabilidade magnética do núcleo (vacuum ou relativa ). - Não foi dada nenhuma dessas grandezas numéricas — o pedido é conceitual: fórmula e identificação dos símbolos e unidades.
Passo 2
Modelo físico e hipóteses usadas (por que escolhemos esse modelo):
- Vou considerar primeiro o caso do solenoide ideal (longo e uniformemente enrolado, com espiras bem próximas umas das outras).
- Hipótese-chave do solenoide ideal: o campo magnético dentro do solenoide é aproximadamente uniforme e paralelo ao eixo, e fora do solenoide o campo é desprezível.
- Essas hipóteses simplificam a aplicação da lei de Ampère e dão a fórmula mais usada em provas. Se o solenoide for curto ou tiver núcleo com permeabilidade diferente, há correções (mostro também a forma com permeabilidade do núcleo e a expressão para solenoide finito).
Passo 3
Enunciado da lei de Ampère que usarei (sem resolver ainda) e explicação do que ela diz:
- Essa é a forma integral da lei de Ampère: a integral de linha do campo magnético
ao longo de um caminho fechado é igual a vezes a corrente elétrica total que atravessa a área limitada pelo caminho. - Aqui:
-
é o campo magnético (vetor). -
é um elemento de comprimento ao longo do caminho fechado. -
é a permeabilidade magnética do vácuo (constante física). -
é a corrente total atravessando a superfície encostada no caminho escolhido.
-
Vou aplicar essa lei com um contorno apropriado (um laço retangular) que tem um lado longo dentro do solenoide e um lado paralelo fora, para explorar a uniformidade do campo dentro e o campo desprezível fora.
Passo 4
Aplicação da lei de Ampère e montagem da equação (passo-a-passo da derivação):
- Escolho um laço retangular cujos lados longitudinais têm comprimento
. Um desses lados fica inteiramente no interior do solenoide (onde é aproximadamente constante e paralelo ao caminho); o lado oposto fica fora (onde ). Os outros dois lados são perpendiculares ao eixo e dão contribuição desprezível se escolhidos curtos. - A integral de linha reduz-se então à contribuição do lado interno:
- A corrente total atravessando a superfície limitada pelo laço é o número de espiras por unidade de comprimento multiplicado por
, vezes a corrente em cada espira. Definindo como número de espiras por unidade de comprimento ( ), temos:
- Substituindo na lei de Ampère:
- Cancelando
de ambos os lados obtemos a expressão simples para o solenoide ideal:
Passo 5
Interpretação e variante com núcleo magnético:
- A expressão acima é para núcleo de vácuo (ou ar). Se o solenoide tiver um núcleo linear com permeabilidade relativa
, a permeabilidade absoluta é e a fórmula generaliza-se para
- Equivalentes com
e : como , pode-se escrever também
(no caso sem núcleo magnético) ou
(com núcleo de permeabilidade
).
Passo 6
Nome e unidade de cada símbolo (explicação didática e unidades):
-
: campo magnético (densidade de fluxo magnético). Unidade: tesla, . - Obs.:
.
- Obs.:
-
: permeabilidade magnética do vácuo. Valor numérico usual: - Unidade alternativa:
(henry por metro), que é equivalente a .
- Unidade alternativa:
-
: permeabilidade relativa do núcleo (adição se houver núcleo). É adimensional (sem unidade). é a permeabilidade absoluta (unidade ). -
: número de espiras por unidade de comprimento, isto é . Unidade: (voltas por metro, ou espiras por metro). -
: número total de espiras (espiras = voltas). É adimensional (sem unidade). -
: comprimento do solenoide. Unidade: metro, . -
: corrente elétrica que percorre as espiras. Unidade: ampere, .
Passo 7
Comentário sobre validade e forma exata para solenoide finito (dica de prova):
- A fórmula
é uma boa aproximação quando o solenoide é longo ( raio) e as espiras são próximas (solenoide ideal). Em provas, quase sempre essa é a fórmula esperada. - Para um solenoide finito e de raio
, o campo axial no ponto de centro pode ser obtido pela expressão mais geral (usando soma/integral das contribuições das espiras). Uma forma prática para o campo no centro (eixo) de um solenoide de espiras, comprimento e raio é
- Essa expressão reduz-se à fórmula
quando é muito maior que (porque e aí ).
Passo 8
Exemplo numérico rápido (para fixar ideia):
- Se
(mil espiras por metro) e , então
- Essa ordem de grandeza mostra que campos de solenoides domésticos/experimentais costumam ficar na faixa de microteslas a militeslas, dependendo do número de espiras, corrente e núcleo.
Resposta
(Variante com núcleo magnético:
. Variante com
e
:
.)