1. QUAL É A FÓRMULA DO CAMPO MAGNÉTICO GERADO POR UMA CORRENTE ELÉTRICA NO CENTRO DE UM SOLENOIDE, E NOMINE CADA COMPONENTE DA FÓRMULA E DE A SUA UNIDADE?

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Fornecer a fórmula do campo magnético gerado por uma corrente elétrica no centro de um solenoide.
  • Nomear cada componente (cada símbolo) dessa fórmula e dar a sua unidade.
Informações relevantes (o que normalmente aparece num enunciado sobre solenoide e que vou usar na resolução):
  • Pode aparecer o número total de espiras N, o comprimento do solenoide L, a corrente elétrica I, o raio do solenoide a e a permeabilidade magnética do núcleo (vacuum \mu_0 ou relativa \mu_r).
  • Não foi dada nenhuma dessas grandezas numéricas — o pedido é conceitual: fórmula e identificação dos símbolos e unidades.

Passo 2

Modelo físico e hipóteses usadas (por que escolhemos esse modelo):
  • Vou considerar primeiro o caso do solenoide ideal (longo e uniformemente enrolado, com espiras bem próximas umas das outras).
  • Hipótese-chave do solenoide ideal: o campo magnético dentro do solenoide é aproximadamente uniforme e paralelo ao eixo, e fora do solenoide o campo é desprezível.
  • Essas hipóteses simplificam a aplicação da lei de Ampère e dão a fórmula mais usada em provas. Se o solenoide for curto ou tiver núcleo com permeabilidade diferente, há correções (mostro também a forma com permeabilidade do núcleo e a expressão para solenoide finito).

Passo 3

Enunciado da lei de Ampère que usarei (sem resolver ainda) e explicação do que ela diz:
\oint \vec{B}\cdot d\vec{\ell}=\mu_0 I_{\text{enc}}.
  • Essa é a forma integral da lei de Ampère: a integral de linha do campo magnético \vec{B} ao longo de um caminho fechado é igual a \mu_0 vezes a corrente elétrica total I_{\text{enc}} que atravessa a área limitada pelo caminho.
  • Aqui:
    • \vec{B} é o campo magnético (vetor).
    • d\vec{\ell} é um elemento de comprimento ao longo do caminho fechado.
    • \mu_0 é a permeabilidade magnética do vácuo (constante física).
    • I_{\text{enc}} é a corrente total atravessando a superfície encostada no caminho escolhido.
Vou aplicar essa lei com um contorno apropriado (um laço retangular) que tem um lado longo dentro do solenoide e um lado paralelo fora, para explorar a uniformidade do campo dentro e o campo desprezível fora.

Passo 4

Aplicação da lei de Ampère e montagem da equação (passo-a-passo da derivação):
  • Escolho um laço retangular cujos lados longitudinais têm comprimento l. Um desses lados fica inteiramente no interior do solenoide (onde \vec{B} é aproximadamente constante e paralelo ao caminho); o lado oposto fica fora (onde \vec{B}\approx 0). Os outros dois lados são perpendiculares ao eixo e dão contribuição desprezível se escolhidos curtos.
  • A integral de linha reduz-se então à contribuição do lado interno:
\oint \vec{B}\cdot d\vec{\ell}=B\,l.
  • A corrente total atravessando a superfície limitada pelo laço é o número de espiras por unidade de comprimento multiplicado por l, vezes a corrente em cada espira. Definindo n como número de espiras por unidade de comprimento ( n=\dfrac{N}{L}), temos:
I_{\text{enc}} = (n\,l)\,I.
  • Substituindo na lei de Ampère:
B\,l = \mu_0 (n\,l) I.
  • Cancelando l de ambos os lados obtemos a expressão simples para o solenoide ideal:
B = \mu_0\,n\,I.

Passo 5

Interpretação e variante com núcleo magnético:
  • A expressão acima é para núcleo de vácuo (ou ar). Se o solenoide tiver um núcleo linear com permeabilidade relativa \mu_r, a permeabilidade absoluta é \mu=\mu_0\mu_r e a fórmula generaliza-se para
B = \mu\,n\,I = \mu_0\,\mu_r\,n\,I.
  • Equivalentes com N e L: como n=\dfrac{N}{L}, pode-se escrever também
B = \mu_0\,\frac{N}{L}\,I
(no caso sem núcleo magnético) ou
B = \mu\,\frac{N}{L}\,I
(com núcleo de permeabilidade \mu).

Passo 6

Nome e unidade de cada símbolo (explicação didática e unidades):
  • B: campo magnético (densidade de fluxo magnético). Unidade: tesla, \mathrm{T}.
    • Obs.: 1\\ \mathrm{T} = 1\\ \mathrm{N/(A\,m)}.
  • \mu_0: permeabilidade magnética do vácuo. Valor numérico usual: \mu_0 = 4\pi\times 10^{-7}\\ \mathrm{H/m}\\ (\text{henry por metro}) = 4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{N/A^2}.
    • Unidade alternativa: \mathrm{H/m} (henry por metro), que é equivalente a \mathrm{N/A^2}.
  • \mu_r: permeabilidade relativa do núcleo (adição se houver núcleo). É adimensional (sem unidade). \mu=\mu_0\mu_r é a permeabilidade absoluta (unidade \mathrm{H/m}).
  • n: número de espiras por unidade de comprimento, isto é n=\dfrac{N}{L}. Unidade: \mathrm{m^{-1}} (voltas por metro, ou espiras por metro).
  • N: número total de espiras (espiras = voltas). É adimensional (sem unidade).
  • L: comprimento do solenoide. Unidade: metro, \mathrm{m}.
  • I: corrente elétrica que percorre as espiras. Unidade: ampere, \mathrm{A}.

Passo 7

Comentário sobre validade e forma exata para solenoide finito (dica de prova):
  • A fórmula \,B=\mu_0 n I é uma boa aproximação quando o solenoide é longo ( L\gg raio) e as espiras são próximas (solenoide ideal). Em provas, quase sempre essa é a fórmula esperada.
  • Para um solenoide finito e de raio a, o campo axial no ponto de centro pode ser obtido pela expressão mais geral (usando soma/integral das contribuições das espiras). Uma forma prática para o campo no centro (eixo) de um solenoide de N espiras, comprimento L e raio a é
B_{\text{centro}}=\frac{\mu_0 N I}{2\sqrt{a^2+\left(\dfrac{L}{2}\right)^2}}.
  • Essa expressão reduz-se à fórmula \mu_0 n I quando L é muito maior que a (porque \sqrt{a^2+(L/2)^2}\approx L/2 e aí B_{\text{centro}}\approx \mu_0 N I/L=\mu_0 n I).

Passo 8

Exemplo numérico rápido (para fixar ideia):
  • Se n=1000\\ \mathrm{m^{-1}} (mil espiras por metro) e I=0{,}1\\ \mathrm{A}, então
B=\mu_0 n I = 4\pi\times10^{-7}\cdot 1000\cdot 0{,}1 \approx 4\pi\times10^{-5}\\ \mathrm{T}\approx 1{,}26\times10^{-4}\\ \mathrm{T}.
  • Essa ordem de grandeza mostra que campos de solenoides domésticos/experimentais costumam ficar na faixa de microteslas a militeslas, dependendo do número de espiras, corrente e núcleo.

Resposta

B=\mu_0\,n\,I
B — campo magnético no interior/centro do solenoide; unidade: \mathrm{T} (tesla).
\mu_0 — permeabilidade magnética do vácuo; unidade: \mathrm{H/m} (henry por metro) ou \mathrm{N/A^2}; \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}.
n — número de espiras por unidade de comprimento, n=\dfrac{N}{L}; unidade: \mathrm{m^{-1}}.
I — corrente elétrica que atravessa as espiras; unidade: \mathrm{A} (ampere).
(Variante com núcleo magnético: B=\mu\,n\,I=\mu_0\mu_r\,n\,I. Variante com N e L: B=\mu_0\dfrac{N}{L}I.)

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