A fórmula geral da integração de Newton-Coates é dada por:
Mostre que, para
, a equação geral de Newton-Coates resulta na Fórmula de Simpson, expressa como:
Passo 1
O enunciado dá a fórmula geral de Newton–Cotes
e pede que, para
, mostremos que essa fórmula resulta na Fórmula de Simpson
Informações dadas que vamos usar:
- Devemos tomar
(ou seja, três pontos em ). - A fórmula geral já fornece a forma do termo de resto com a derivada de ordem
. - Temos que calcular explicitamente os pesos
quando .
Passo 2
Escolher os pontos igualmente espaçados (caso usual de Newton–Cotes fechado, que leva a Simpson). Definir
ou seja
Explicação curta do porquê: Simpson usa três pontos igualmente espaçados no intervalo
, então
é meio comprimento do intervalo.
Passo 3
Recordar como se obtêm os pesos
. A aproximação pelos pesos corresponde a integrar o polinômio interpolador de grau
em
. Usar as bases de Lagrange:
Os pesos são
Vamos calcular
explicitamente usando os
definidos acima.
Passo 4
Calcular os denominadores das
.
Portanto
Passo 5
Para integrar com facilidade, fazer mudança de variável
. Então
e os nós passam a ser
Reescrever as
em função de
.
Para
:
Calcular
. Integrando termo a termo:
Somando:
Passo 6
Calcular
. Em
,
Integrar de
a
:
Somando:
Passo 7
Pelo formato simétrico, ou calculando explicitamente para
, obtemos
(Verificação rápida: soma dos pesos deve ser
;
, consistente.)
Passo 8
Agora inserir os pesos na fórmula de Newton–Cotes para
. A soma ponderada fica
Passo 9
Escrever também o termo de resto para
. Na fórmula geral o resto é com
. Para
isso é
, ou seja
. O fator multiplicativo dentro da integral é
. Portanto o termo de resto é exatamente
Passo 10
Juntando aproximação pelos pesos e o resto, obtemos a Fórmula de Simpson com termo de erro explícito: