A fórmula geral da integração de Newton-Coates é dada por:
\int_{a}^{b} f(x) d x=\sum_{i=0}^{n} w_{i} f\left(x_{i}\right)+\int_{a}^{b} \frac{f^{n+1}(\alpha)}{(n+1)!}\left(x-x_{0}\right) \ldots\left(x-x_{n}\right) d x
Mostre que, para n=2, a equação geral de Newton-Coates resulta na Fórmula de Simpson, expressa como:
\int_{a}^{b} f(x) d x=\frac{h}{3}\left[f\left(x_{0}\right)+4 f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)\right]+\int_{a}^{b} \frac{f^{3}(\alpha)}{6}\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado dá a fórmula geral de Newton–Cotes
\int_{a}^{b} f(x)\,dx=\sum_{i=0}^{n} w_{i} f\left(x_{i}\right)+\int_{a}^{b} \frac{f^{\,n+1}(\alpha)}{(n+1)!}\left(x-x_{0}\right)\cdots\left(x-x_{n}\right)\,dx
e pede que, para n=2, mostremos que essa fórmula resulta na Fórmula de Simpson
\int_{a}^{b} f(x)\,dx=\frac{h}{3}\bigl[f(x_{0})+4f(x_{1})+f(x_{2})\bigr]+\int_{a}^{b}\frac{f^{(3)}(\alpha)}{6}\,(x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{2})\,dx.
Informações dadas que vamos usar:
  • Devemos tomar n=2 (ou seja, três pontos \,x_{0},x_{1},x_{2}\, em [a,b]).
  • A fórmula geral já fornece a forma do termo de resto com a derivada de ordem n+1.
  • Temos que calcular explicitamente os pesos w_{0},w_{1},w_{2} quando n=2.

Passo 2

Escolher os pontos igualmente espaçados (caso usual de Newton–Cotes fechado, que leva a Simpson). Definir
x_{0}=a,\qquad x_{1}=a+h,\qquad x_{2}=a+2h=b,
ou seja
h=\frac{b-a}{2}.
Explicação curta do porquê: Simpson usa três pontos igualmente espaçados no intervalo [a,b], então h é meio comprimento do intervalo.

Passo 3

Recordar como se obtêm os pesos w_{i}. A aproximação pelos pesos corresponde a integrar o polinômio interpolador de grau \le 2 em [a,b]. Usar as bases de Lagrange:
\ell_{i}(x)=\prod_{\substack{j=0\j\ne i}}^{2}\frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}},\qquad i=0,1,2.
Os pesos são
w_{i}=\int_{a}^{b}\ell_{i}(x)\,dx.
Vamos calcular \ell_{0},\ell_{1},\ell_{2} explicitamente usando os x_{i} definidos acima.

Passo 4

Calcular os denominadores das \ell_{i}.
x_{0}-x_{1}=-h,\quad x_{0}-x_{2}=-2h\quad\Rightarrow\quad(x_{0}-x_{1})(x_{0}-x_{2})=(-h)(-2h)=2h^{2}.
x_{1}-x_{0}=h,\quad x_{1}-x_{2}=-h\quad\Rightarrow\quad(x_{1}-x_{0})(x_{1}-x_{2})=h(-h)=-h^{2}.
x_{2}-x_{0}=2h,\quad x_{2}-x_{1}=h\quad\Rightarrow\quad(x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{1})=(2h)(h)=2h^{2}.
Portanto
\ell_{0}(x)=\frac{(x-x_{1})(x-x_{2})}{2h^{2}}, \qquad \ell_{1}(x)=-\frac{(x-x_{0})(x-x_{2})}{h^{2}}, \qquad \ell_{2}(x)=\frac{(x-x_{0})(x-x_{1})}{2h^{2}}.

Passo 5

Para integrar com facilidade, fazer mudança de variável \,t=x-a. Então t\in[0,2h] e os nós passam a ser
t_{0}=0,\quad t_{1}=h,\quad t_{2}=2h.
Reescrever as \ell_{i} em função de t.
Para \ell_{0}:
\ell_{0}(t)=\frac{(t-h)(t-2h)}{2h^{2}}=\frac{t^{2}-3ht+2h^{2}}{2h^{2}}=\frac{1}{2h^{2}}t^{2}-\frac{3}{2h}t+1.
Calcular w_{0}=\int_{0}^{2h}\ell_{0}(t)\,dt. Integrando termo a termo:
\int_{0}^{2h}\frac{1}{2h^{2}}t^{2}\,dt=\frac{1}{2h^{2}}\cdot\frac{(2h)^{3}}{3}=\frac{8h^{3}}{6h^{2}}=\frac{4h}{3},
\int_{0}^{2h}-\frac{3}{2h}t\,dt=-\frac{3}{2h}\cdot\frac{(2h)^{2}}{2}=-\frac{3}{2h}\cdot\frac{4h^{2}}{2}=-3h,
\int_{0}^{2h}1\,dt=2h.
Somando:
w_{0}=\frac{4h}{3}-3h+2h=\frac{h}{3}.

Passo 6

Calcular w_{1}. Em t,
\ell_{1}(t)=-\frac{t(t-2h)}{h^{2}}=-\frac{t^{2}-2ht}{h^{2}}=-\frac{t^{2}}{h^{2}}+\frac{2t}{h}.
Integrar de 0 a 2h:
\int_{0}^{2h}-\frac{t^{2}}{h^{2}}\,dt=-\frac{1}{h^{2}}\cdot\frac{(2h)^{3}}{3}=-\frac{8h}{3},
\int_{0}^{2h}\frac{2t}{h}\,dt=\frac{2}{h}\cdot\frac{(2h)^{2}}{2}=\frac{2}{h}\cdot 2h^{2}=4h.
Somando:
w_{1}=-\frac{8h}{3}+4h=\frac{4h}{3}.

Passo 7

Pelo formato simétrico, ou calculando explicitamente para \ell_{2}, obtemos
w_{2}=\frac{h}{3}.
(Verificação rápida: soma dos pesos deve ser b-a=2h; \frac{h}{3}+\frac{4h}{3}+\frac{h}{3}=2h, consistente.)

Passo 8

Agora inserir os pesos na fórmula de Newton–Cotes para n=2. A soma ponderada fica
\sum_{i=0}^{2} w_{i}f(x_{i})=\frac{h}{3}f(x_{0})+\frac{4h}{3}f(x_{1})+\frac{h}{3}f(x_{2})=\frac{h}{3}\bigl[f(x_{0})+4f(x_{1})+f(x_{2})\bigr].

Passo 9

Escrever também o termo de resto para n=2. Na fórmula geral o resto é com f^{\,n+1}(\alpha)/(n+1)!. Para n=2 isso é f^{(3)}(\alpha)/3!, ou seja f^{(3)}(\alpha)/6. O fator multiplicativo dentro da integral é (x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{2}). Portanto o termo de resto é exatamente
\int_{a}^{b}\frac{f^{(3)}(\alpha)}{6}\,(x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{2})\,dx.

Passo 10

Juntando aproximação pelos pesos e o resto, obtemos a Fórmula de Simpson com termo de erro explícito:
\int_{a}^{b} f(x)\,dx=\frac{h}{3}\bigl[f(x_{0})+4f(x_{1})+f(x_{2})\bigr]+\int_{a}^{b}\frac{f^{(3)}(\alpha)}{6}\,(x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{2})\,dx.

Resposta

\int_{a}^{b} f(x)\,dx=\frac{h}{3}\left[f\left(x_{0}\right)+4 f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)\right]+\int_{a}^{b} \frac{f^{(3)}(\alpha)}{6}\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\,dx

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