Mostre que a Fórmula dos Trapézios Repetida pode ser expressa como:
\int_{a}^{b} f(x) d x=\frac{h}{2}\left[f\left(x_{0}\right)+2 f\left(x_{1}\right)+2 f\left(x_{2}\right)+\ldots+2 f\left(x_{n-1}\right)+f\left(x_{n}\right)\right]
Dica: Considere que o intervalo de integração foi subdividido uniformemente, com pontos x_{0}=a, x_{n}=b e espaçamento constante x_{i}-x_{i-1}=h.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a regra dos trapézios repetida (com subdivisão uniforme) pode ser escrita como
\int_{a}^{b} f(x)\,dx=\frac{h}{2}\left[f\left(x_{0}\right)+2 f\left(x_{1}\right)+2 f\left(x_{2}\right)+\ldots+2 f\left(x_{n-1}\right)+f\left(x_{n}\right)\right].
As informações dadas são:
  • Os pontos da partição são \;x_{0}=a,\;x_{1},\dots,x_{n}=b\;.
  • O espaçamento é constante: \;x_{i}-x_{i-1}=h para todo i=1,\dots,n.
  • Logo, \;h=\dfrac{b-a}{n} (há n subintervalos iguais).
    O que se pede é derivar a expressão acima a partir dessas hipóteses.

Passo 2

Vamos aproximar a integral em cada subintervalo \,[x_{i-1},x_i] por uma área de trapézio — isto corresponde a integrar a interpolação linear de f entre os extremos do subintervalo. Para isso, escrevemos a reta que passa por \big(x_{i-1},f(x_{i-1})\big) e \big(x_i,f(x_i)\big). Essa reta (interpolante linear) pode ser escrita como
L_i(x)=f(x_{i-1})+\frac{x-x_{i-1}}{h}\big(f(x_i)-f(x_{i-1})\big), \qquad x\in[x_{i-1},x_i].
Aqui \;L_i(x) é uma função linear em x que vale f(x_{i-1}) em x_{i-1} e f(x_i) em x_i. A ideia do trapézio é aproximar
\displaystyle \int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x)\,dx por \displaystyle \int_{x_{i-1}}^{x_i} L_i(x)\,dx, que podemos calcular explicitamente.

Passo 3

Calculemos a integral da interpolação linear sobre [x_{i-1},x_i]. Fazendo a substituição t=x-x_{i-1} (então t varia de 0 a h), obtemos
\int_{x_{i-1}}^{x_i} L_i(x)\,dx = \int_{0}^{h} \left[f(x_{i-1})+\frac{t}{h}\big(f(x_i)-f(x_{i-1})\big)\right] dt.
Agora integramos termo a termo:
\int_{0}^{h} f(x_{i-1})\,dt = f(x_{i-1})\cdot h,
\int_{0}^{h} \frac{t}{h}\big(f(x_i)-f(x_{i-1})\big)\,dt = \frac{f(x_i)-f(x_{i-1})}{h}\cdot\frac{h^{2}}{2} = \frac{h}{2}\big(f(x_i)-f(x_{i-1})\big).
Somando as duas partes obtemos
\int_{x_{i-1}}^{x_i} L_i(x)\,dx = h\,f(x_{i-1})+\frac{h}{2}\big(f(x_i)-f(x_{i-1})\big) = \frac{h}{2}\big(f(x_{i-1})+f(x_i)\big).
Portanto, a regra do trapézio aplicada ao subintervalo [x_{i-1},x_i] dá exatamente
\int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x)\,dx \approx \frac{h}{2}\big(f(x_{i-1})+f(x_i)\big).
(Explicação intuitiva: área do trapézio = base h vezes média das alturas \tfrac{f(x_{i-1})+f(x_i)}{2}.)

Passo 4

Agora somamos essa aproximação sobre todos os subintervalos para cobrir [a,b]. Somando para i=1,2,\dots,n,
\sum_{i=1}^{n}\int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^{n}\frac{h}{2}\big(f(x_{i-1})+f(x_i)\big).
O lado esquerdo é exatamente \displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\,dx. No lado direito fatoramos \dfrac{h}{2}:
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{2}\sum_{i=1}^{n}\big(f(x_{i-1})+f(x_i)\big).

Passo 5

Vamos manipular a soma para obter a forma pedida. Observe que
\sum_{i=1}^{n} f(x_{i-1}) = f(x_0)+f(x_1)+\cdots+f(x_{n-1}),
\sum_{i=1}^{n} f(x_i) = f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n).
Somando as duas somas temos cada termo interior f(x_1),\dots,f(x_{n-1}) aparecendo duas vezes, enquanto f(x_0) e f(x_n) aparecem uma vez cada. Assim
\sum_{i=1}^{n}\big(f(x_{i-1})+f(x_i)\big) = f(x_0)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)+f(x_n).
Substituindo na expressão do passo anterior obtemos a forma final:
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{2}\left[f(x_0)+2f(x_1)+2f(x_2)+\cdots+2f(x_{n-1})+f(x_n)\right].

Resposta

\int_{a}^{b} f(x)\,dx=\frac{h}{2}\left[f\left(x_{0}\right)+2 f\left(x_{1}\right)+2 f\left(x_{2}\right)+\ldots+2 f\left(x_{n-1}\right)+f\left(x_{n}\right)\right]

Exercícios relacionados