Mostre que a Fórmula dos Trapézios Repetida pode ser expressa como:
Dica: Considere que o intervalo de integração foi subdividido uniformemente, com pontos
e espaçamento constante
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a regra dos trapézios repetida (com subdivisão uniforme) pode ser escrita como
As informações dadas são:
- Os pontos da partição são
. - O espaçamento é constante:
para todo . - Logo,
(há subintervalos iguais).
O que se pede é derivar a expressão acima a partir dessas hipóteses.
Passo 2
Vamos aproximar a integral em cada subintervalo
por uma área de trapézio — isto corresponde a integrar a interpolação linear de
entre os extremos do subintervalo. Para isso, escrevemos a reta que passa por
e
. Essa reta (interpolante linear) pode ser escrita como
Aqui
é uma função linear em
que vale
em
e
em
. A ideia do trapézio é aproximar
por
, que podemos calcular explicitamente.
Passo 3
Calculemos a integral da interpolação linear sobre
. Fazendo a substituição
(então
varia de
a
), obtemos
Agora integramos termo a termo:
Somando as duas partes obtemos
Portanto, a regra do trapézio aplicada ao subintervalo
dá exatamente
(Explicação intuitiva: área do trapézio = base
vezes média das alturas
.)
Passo 4
Agora somamos essa aproximação sobre todos os subintervalos para cobrir
. Somando para
,
O lado esquerdo é exatamente
. No lado direito fatoramos
:
Passo 5
Vamos manipular a soma para obter a forma pedida. Observe que
Somando as duas somas temos cada termo interior
aparecendo duas vezes, enquanto
e
aparecem uma vez cada. Assim
Substituindo na expressão do passo anterior obtemos a forma final: