Qual é o menor e o maior inteiro que pode ser escrito em dada base com
algarismos?
Passo 1
O enunciado pede: dado um sistema de numeração de base
e um número de algarismos
, qual é o menor inteiro e qual é o maior inteiro que podem ser escritos com exatamente
algarismos nessa base?
Informações dadas e convenções que vou usar (não peço nada a mais, apenas fixo notação):
Informações dadas e convenções que vou usar (não peço nada a mais, apenas fixo notação):
- A base é
, com e . - O número de algarismos é
, com e . - Por “
algarismos” entendo exatamente algarismos (isto é, o algarismo mais significativo não pode ser zero).
Estas são as perguntas explícitas que vou responder: (i) menor inteiro que pode ser escrito com exatamentealgarismos em base ; (ii) maior inteiro que pode ser escrito com exatamente algarismos em base .
Passo 2
Entendendo o sistema posicional (explicação didática): qualquer inteiro escrito em base
com exatamente
algarismos pode ser escrito como uma sequência de dígitos
onde cada dígito satisfaz
e o dígito mais significativo não pode ser zero:
O valor numérico dessa sequência é dado pela soma ponderada (forma padrão da representação posicional):
Aqui
é o dígito na posição
(com
sendo a posição das unidades), e
é o peso da posição
.
Passo 3
Encontrando o menor inteiro (passo a passo): para minimizar o valor
respeitando
, devemos escolher o menor valor possível para o algarismo mais significativo, que é
, e todos os outros algarismos como
. Assim a representação mínima é
e seu valor é
Exemplo concreto para clarear: em base
com
o menor é
; em base
com
o menor é
.
Passo 4
Encontrando o maior inteiro (passo a passo): para maximizar
devemos escolher todos os dígitos no seu valor máximo, isto é
para todo
. A representação máxima é
e seu valor é
Agora uso a fórmula da soma geométrica (uma ferramenta padrão): para
,
Multiplicando pelo fator
obtemos
Portanto o maior inteiro com exatamente
algarismos em base
é
. Exemplo: em base
com
o maior é
; em base
com
o maior é
.
Passo 5
Observações úteis para a prova (resumo e variação comum):
- Conclusão curta: os inteiros que têm exatamente
algarismos em base são todos os inteiros no intervalo inteiro
- Número de inteiros representáveis com exatamente
algarismos: há desses inteiros. - Nota importante: se a pergunta permitisse representações com até
algarismos (isto é, permitindo zeros à esquerda), o menor inteiro seria enquanto o maior continuaria sendo . Mas aqui tratamos do caso “exatamente algarismos”.
Resposta
Menor:
Maior:
Maior: