Qual é o menor e o maior inteiro que pode ser escrito em dada base com N algarismos?

Passo 1

O enunciado pede: dado um sistema de numeração de base b e um número de algarismos N, qual é o menor inteiro e qual é o maior inteiro que podem ser escritos com exatamente N algarismos nessa base?
Informações dadas e convenções que vou usar (não peço nada a mais, apenas fixo notação):
  • A base é b, com b\in\mathbb{N} e b\ge 2.
  • O número de algarismos é N, com N\in\mathbb{N} e N\ge 1.
  • Por “ N algarismos” entendo exatamente N algarismos (isto é, o algarismo mais significativo não pode ser zero).
    Estas são as perguntas explícitas que vou responder: (i) menor inteiro que pode ser escrito com exatamente N algarismos em base b; (ii) maior inteiro que pode ser escrito com exatamente N algarismos em base b.

Passo 2

Entendendo o sistema posicional (explicação didática): qualquer inteiro escrito em base b com exatamente N algarismos pode ser escrito como uma sequência de dígitos
d_{N-1}d_{N-2}\dots d_1 d_0
onde cada dígito satisfaz
d_k\in\{0,1,2,\dots,b-1\}
e o dígito mais significativo não pode ser zero:
d_{N-1}\neq 0.
O valor numérico dessa sequência é dado pela soma ponderada (forma padrão da representação posicional):
\sum_{k=0}^{N-1} d_k\,b^{k}.
Aqui d_k é o dígito na posição k (com k=0 sendo a posição das unidades), e b^{k} é o peso da posição k.

Passo 3

Encontrando o menor inteiro (passo a passo): para minimizar o valor \sum_{k=0}^{N-1} d_k b^{k} respeitando d_{N-1}\neq 0, devemos escolher o menor valor possível para o algarismo mais significativo, que é 1, e todos os outros algarismos como 0. Assim a representação mínima é
100\ldots0_{(b)}\quad(\text{um }1\text{ seguido de }N-1\text{ zeros}),
e seu valor é
1\cdot b^{N-1} + 0 + 0 + \dots + 0 = b^{N-1}.
Exemplo concreto para clarear: em base 10 com N=3 o menor é 100=10^{2}; em base 2 com N=4 o menor é 1000_{(2)}=2^{3}=8.

Passo 4

Encontrando o maior inteiro (passo a passo): para maximizar \sum_{k=0}^{N-1} d_k b^{k} devemos escolher todos os dígitos no seu valor máximo, isto é d_k=b-1 para todo k. A representação máxima é
(b-1)(b-1)\dots(b-1)_{(b)} \quad(\text{\(N\) vezes } b-1),
e seu valor é
\sum_{k=0}^{N-1} (b-1)\,b^{k} = (b-1)\sum_{k=0}^{N-1} b^{k}.
Agora uso a fórmula da soma geométrica (uma ferramenta padrão): para b\neq 1,
\sum_{k=0}^{N-1} b^{k}=\frac{b^{N}-1}{b-1}.
Multiplicando pelo fator (b-1) obtemos
(b-1)\cdot\frac{b^{N}-1}{b-1}=b^{N}-1.
Portanto o maior inteiro com exatamente N algarismos em base b é b^{N}-1. Exemplo: em base 10 com N=3 o maior é 999=10^{3}-1; em base 2 com N=4 o maior é 1111_{(2)}=2^{4}-1=15.

Passo 5

Observações úteis para a prova (resumo e variação comum):
  • Conclusão curta: os inteiros que têm exatamente N algarismos em base b são todos os inteiros no intervalo inteiro
\{\,b^{N-1},\,b^{N-1}+1,\,\dots,\,b^{N}-1\,\}.
  • Número de inteiros representáveis com exatamente N algarismos: há b^{N}-b^{N-1}=(b-1)b^{N-1} desses inteiros.
  • Nota importante: se a pergunta permitisse representações com até N algarismos (isto é, permitindo zeros à esquerda), o menor inteiro seria 0 enquanto o maior continuaria sendo b^{N}-1. Mas aqui tratamos do caso “exatamente N algarismos”.

Resposta

Menor: b^{N-1}
Maior: b^{N}-1

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