(a) A fórmula semi-empírica de massa atômica de Weizsacker para o modelo nuclear da gota líquida é dada por,
onde MH approx 938.789 MeV / c^2 é a massa atômica do hidrogênio, Mn approx 939.571 MeV / c^2 é a massa do neutron, a1 approx 15.752 MeV / c^2, a2 approx 17.801 MeV / c^2, a3 approx 0.711 MeV / c^2, a4 approx 94.780 MeV / c^2 e a5 approx 11.178 MeV / c^2. Deduza a fórmula para Z min (A) correspondendo ao número atômico que minimiza a massa atômica M(Z, A) para um dado número de massa A. Note que esta fórmula fornece uma previsão do modelo nuclear da gota líquida para os nuclídeos isóbaros mais estáveis.
(b) Para isóbaros com A=60, uma seqüência típica de decaimentos partindo de um nuclídeo com 35 neutrons envolve 3 decaimentos beta^-, e uma outra seqüência típica partindo de um nuclídeo com 30 neutrons envolve 2 decaimentos beta^+. Determine os números atômico e de massa para os nuclídeos iniciais e finais destas seqüências de decaimentos.
(c) Calcule o valor previsto pelo modelo nuclear da gota líquida para Zmin (A) no caso dos isóbaros com o número de massa dos nuclídeos no final das seqüências de decaimentos discutidas no item anterior. A previsão do modelo da gota líquida está correta neste caso?
Passo 1
O enunciado apresenta a fórmula semi-empírica de massa atômica (SEMF) de Weizsäcker
M(Z,A)approx MH Z + Mn(A-Z) - a1 A + a2 A^2/3 + a3Z^2A^1/3 + a4(Z - A/2)^2A - a5A^1/2;de<apairing,
onde os únicos termos que dependem de Z são ;MH Z, -Mn Z, a3Z^2/A^1/3 e a4(Z-A/2)^2/A.
No item (a) queremos achar a expressão contínua de Zmin(A) que minimiza M(Z,A).
Nos itens (b) e (c) vamos aplicar isso a isóbaros de A=60 e checar o resultado.
Passo 2
Para minimizar em desprezamos o termo de emparelhamento (pois é de ordem discreta) e calculamos
Multiplicando ambos os lados por e rearranjando:
Logo a solução contínua é
Passo 3
Para isóbaros com A=60:
Cadeia beta^- a partir de N=35: inicialmente Z=60-35=25. Cada beta^- converte nto p, logo Zto Z+1, Nto N-1. Após 3 decaimentos:
Zf=25+3=28, Nf=35-3=32, A=60
Cadeia beta^+ a partir de N=30: inicialmente Z=60-30=30. Cada beta^+ converte pto n, logo Zto Z-1, Nto N+1. Após 2 decaimentos:
Zf=30-2=28, Nf=30+2=32, A=60
Em ambos os casos o produto final é o nuclídeo Ni28^60.
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula de Zmin(A) para A=60, usando De<a M=Mn-MHapprox0,782, a3=0,711, a4=94,780:
Arredondando para inteiro dá Zapprox27, mas o nuclídeo estável real tem Z=28. Portanto, sem levar em conta o termo de emparelhamento o mínimo contínuo difere em uma unidade; o modelo contínuo simples não acerta exatamente, embora fique qualitativamente próximo.
Resposta
(a)
Zmin(A)=Al(a4+Mn-MHr)2l(a3A^2/3+a4r)
(b)
– A partir de N=35: inicial (Z,N)=(25,35), após 3 beta^-: (28,32).
– A partir de N=30: inicial (Z,N)=(30,30), após 2 beta^+: (28,32).
(c)
Para A=60, a fórmula dá Zminapprox27,1to27, mas o estado estável real é Z=28. O modelo contínuo simplificado erra em uma unidade.