Considere uma fonte artificial produzindo núcleos radioativos de um dado tipo a uma taxa de,
Rp(t)=cl lambda^2 t, & p / t in[0, tfp] 0, & p / t in[tfp, infty),
onde lambda é a constante de decaimento característica destes núcleos. A fonte está conectada a uma câmara isolada e no interior desta câmara, imediatamente antes da fonte ser ligada, existem N0 núcleos radioativos do mesmo tipo produzido pela fonte. Quantos núcleos radioativos do tipo considerado espera-se encontrar no interior da câmara em um dado instante de tempo t ?

Passo 1

O enunciado descreve uma câmara inicialmente contendo
Os núcleos decaem com constante , o número esperado de núcleos, resolvendo a equação diferencial linear não homogênea
com condição inicial .

Passo 2

Para 0<= t<= tfp temos
dNdt + lambda,N = lambda^2,t
Usamos o fator integrante mu(t)=e^lambda t. Multiplicando por mu(t), obtém-se
ddtl(N,e^lambda tr) = lambda^2,t,e^lambda t

Passo 3

Integramos de 0 a t:
N(t),e^lambda t-N0 = integral0^tlambda^2,s,e^lambda s,ds
Fazendo integração por partes em integral s,e^lambda sds resulta
integral0^tlambda^2,s,e^lambda s,ds = l[lambda s,e^lambda s-e^lambda sr]0^t = lambda,t,e^lambda t-e^lambda t+1

Passo 4

Substituindo na solução geral:
N(t),e^lambda t = N0 + lambda,t,e^lambda t-e^lambda t+1 = (N0+1) + e^lambda t(lambda,t-1)
Logo, para 0<= t<= tfp,
N(t) = (N0+1),e^-lambda t + (lambda,t-1)

Passo 5

Para t>tfp a fonte é desligada ( Rp(t)=0) e o número decai exponencialmente:
dNdt + lambda,N=0 Longrightarrow N(t)=N(tfp),e^-lambda,(t-tfp),
onde
N(tfp) = (N0+1),e^-lambda,tfp+(lambda,tfp-1)

Resposta

N(t)= (N0+1),e^-lambda t + (lambda,t-1), & 0<= t<= tfp,[6pt] l[(N0+1),e^-lambda,tfp+(lambda,tfp-1)r],e^-lambda,(t-tfp), & t>tfp ]

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