Qual é a fórmula para tensão de cisalhamento para os fluidos Newtonianos? E qual o significado físico da letra grega \mu que aparece na fórmula?

Passo 1

O que o enunciado pede e o que já temos:
  • Pergunta 1: qual é a fórmula que dá a tensão de cisalhamento para fluidos newtonianos?
  • Pergunta 2: qual é o significado físico da letra grega \mu que aparece nessa fórmula?
    Não há dados numéricos adicionais; o pedido é conceitual e pede a expressão matemática e a interpretação física.

Passo 2

Definição operacional (intuição antes da fórmula): imagine camadas de fluido paralelas umas às outras, cada camada deslizando com velocidade diferente. Se a velocidade u varia na direção perpendicular y, então há uma taxa de deformação por cisalhamento dada por
\dot{\gamma}=\frac{du}{dy}.
Aqui:
  • \dot{\gamma} é a taxa de deformação por cisalhamento (unidade: \mathrm{s^{-1}}),
  • u é a componente da velocidade paralela às camadas (unidade: \mathrm{m\cdot s^{-1}}),
  • y é a coordenada perpendicular às camadas (unidade: \mathrm{m}).

Passo 3

Lei de comportamento de um fluido newtoniano (forma mais simples): em um fluido newtoniano a tensão de cisalhamento \tau é proporcional à taxa de deformação por cisalhamento \dot{\gamma}. A relação linear é
\tau=\mu\,\dot{\gamma}.
Substituindo \dot{\gamma}=\dfrac{du}{dy} obtemos a forma usual usada em muitos exercícios:
\tau=\mu\,\frac{du}{dy}.
Explicando as variáveis nesta fórmula:
  • \tau é a tensão de cisalhamento (força tangencial por unidade de área) com unidade \mathrm{Pa} (pascal);
  • \mu é a viscosidade dinâmica (unidade \mathrm{Pa\cdot s});
  • \dfrac{du}{dy} é a taxa de variação da velocidade na direção perpendicular (unidade \mathrm{s^{-1}}).

Passo 4

Significado físico de \mu:
  • \mu é a constante de proporcionalidade entre tensão de cisalhamento e taxa de cisalhamento; chama-se viscosidade dinâmica (ou simplesmente viscosidade).
  • Fisicamente, \mu mede a “resistência interna” do fluido ao deslizamento entre camadas — é uma medida da fricção interna do fluido. Quanto maior \mu, maior a tensão necessária para obter a mesma taxa de deformação.
  • Unidades e interpretações práticas: [\mu]=\mathrm{Pa\cdot s}=\mathrm{N\cdot s\cdot m^{-2}}=\mathrm{kg\cdot m^{-1}\cdot s^{-1}}.
  • Exemplo numérico rápido: água à temperatura ambiente tem aproximadamente \mu\approx 1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}. Se \dfrac{du}{dy}=100\\ \mathrm{s^{-1}}, então \tau=\mu\frac{du}{dy}=1{,}0\times10^{-3}\times100=0{,}1\\ \mathrm{Pa}.

Passo 5

Forma tensorial (útil em provas mais avançadas): para um fluido newtoniano isotrópico e incompressível, o tensor das tensões viscosas (componente viscosa) é dado por
\tau_{ij}=\mu\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right),
onde:
  • u_i são as componentes da velocidade,
  • x_j são as coordenadas espaciais,
  • \tau_{ij} é a componente i,j do tensor de tensões viscosas.
    Essa expressão generaliza \tau=\mu\,du/dy para campos de velocidade tridimensionais. Em muitas equações de fluidos a tensão total inclui também a pressão: \sigma_{ij}=-p\delta_{ij}+\tau_{ij}.

Passo 6

Observações práticas e dicas para prova:
  • Se no enunciado pedir “tensão de cisalhamento” em um escoamento simples entre placas, use \tau=\mu\,du/dy. Sempre identifique qual é a direção da velocidade e qual é a direção perpendicular.
  • Verifique o sinal: dependendo da convenção, \tau pode ser positivo/negativo; o importante é a relação linear e o módulo.
  • Diferencie viscosidade dinâmica \mu de viscosidade cinemática \nu, usada às vezes: \nu=\frac{\mu}{\rho},onde \rho é a densidade do fluido; \nu tem unidades \mathrm{m^2\cdot s^{-1}}.

Resposta

\tau=\mu\,\dfrac{du}{dy} \
\mu é a viscosidade dinâmica: a constante que relaciona tensão de cisalhamento à taxa de deformação por cisalhamento, medindo a resistência interna (fricção) do fluido (unidade \mathrm{Pa\cdot s}).

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