A velocidade de uma partícula é dada pela expressão abaixo:
\vec{V}=(2 x) \hat{i}-(3 y) \hat{j}
a) Defina o módulo da velocidade no ponto \left(\mathrm{X}_{0}, \mathrm{Y}_{0}\right)=(1,5).
b) Escreva a equação da linha de corrente deste campo de velocidades.
c) Qual a equação da linha de corrente que passa no ponto ( \mathrm{X}_{0}, \mathrm{Y}_{0} )?

Passo 1

O enunciado dá um campo de velocidade bidimensional e pede três coisas. Informações fornecidas:
  • O campo de velocidade é \vec{V}=(2 x)\,\hat{i}-(3 y)\,\hat{j}.
  • O ponto particular é \left(X_{0},Y_{0}\right)=(1,5).
O que é pedido:
  • (a) o módulo da velocidade no ponto \left(X_{0},Y_{0}\right)=(1,5);
  • (b) a equação da linha de corrente (equação geral das linhas de corrente desse campo);
  • (c) a equação da linha de corrente que passa em \left(X_{0},Y_{0}\right)=(1,5).
Também anotei as componentes do campo (úteis para todo o exercício):
  • componente x: V_x=2x;
  • componente y: V_y=-3y.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o módulo da velocidade. Lembrete prático: o módulo de um vetor bidimensional \vec{V}=(V_x)\,\hat{i}+(V_y)\,\hat{j} é dado por
\|\vec{V}\|=\sqrt{V_x^{2}+V_y^{2}}.
Aqui temos V_x=2x e V_y=-3y. No ponto \left(X_{0},Y_{0}\right)=(1,5) substitui-se x=1 e y=5:
V_x(1,5)=2\cdot 1=2, \qquad V_y(1,5)=-3\cdot 5=-15.
Agora o módulo:
\|\vec{V}(1,5)\|=\sqrt{2^{2}+(-15)^{2}}=\sqrt{4+225}=\sqrt{229}.
Se quiser uma aproximação decimal, \sqrt{229}\approx 15{,}132. Isso é tudo para a parte (a).

Passo 3

Agora a linha de corrente. Conceito prático: uma linha de corrente é uma curva no plano cujos pontos têm tangente alinhada com o vetor velocidade naquele ponto. Se a linha de corrente é dada por y=y(x), a inclinação da curva é \dfrac{dy}{dx}. A condição de tangência fornece a famosa relação
\frac{dy}{dx}=\frac{V_y}{V_x}.
Explicando rapidinho: se a curva for parametrizada por um parâmetro s, então \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/ds}{dx/ds}=\dfrac{V_y}{V_x} porque (dx/ds,dy/ds) é direção do vetor velocidade.

Passo 4

Aplicando ao nosso campo, substituímos V_x=2x e V_y=-3y:
\frac{dy}{dx}=\frac{-3y}{2x}.
Isso é uma equação diferencial ordinária separável. Reescrevendo para separar y e x:
\frac{1}{y}\,dy=-\frac{3}{2}\,\frac{1}{x}\,dx.
Integramos ambos os lados:
\int\frac{1}{y}\,dy=\int -\frac{3}{2}\frac{1}{x}\,dx.
As integrais dão:
\ln|y|=-\frac{3}{2}\ln|x|+C,
onde C é a constante de integração. Podemos combinar logs:
\ln\bigl(|y|\,|x|^{3/2}\bigr)=C.
Exponenciando,
|y|\,|x|^{3/2}=C',
ou, absorvendo sinais na constante, a forma mais prática das linhas de corrente é
y=K\,x^{-3/2},
onde K é uma constante real (que pode ser positiva ou negativa, dependendo da linha). Outra forma equivalente, livre de frações na potência, é
x^{3/2}y=\text{constante}.
Observação sobre domínio: como aparece x^{-3/2}, normalmente trabalhamos em intervalos onde x não muda de sinal (por exemplo x>0 ou x<0) para evitar complicações com raízes de potências fracionárias. Mas a expressão com |\cdot| acima é a forma estrita.

Passo 5

Agora achamos a linha de corrente que passa pelo ponto (1,5). Usamos a forma y=K x^{-3/2} e impomos x=1, y=5:
5=K\cdot 1^{-3/2}=K.
Logo K=5. Portanto a linha de corrente que passa por (1,5) é
y=5\,x^{-3/2},
ou, escrito de outro jeito,
y=\frac{5}{x^{3/2}} \qquad\text{(válido no ramo onde \(x>0\))}.á

Passo 6

Recapitulando em palavras amigáveis: a velocidade no ponto (1,5) tem componentes 2 e -15, o que dá módulo \sqrt{229}. As linhas de corrente são curvas do tipo y=K x^{-3/2}; a que passa por (1,5) tem constante K=5, então y=5/x^{3/2}. Vai dar tudo certo na prova — respira fundo, revise estes passos e treina mais um ou dois exercícios parecidos.

Resposta

(a) \|\vec{V}(1,5)\|=\sqrt{229}\approx15{,}132
(b) y=K\,x^{-3/2} (constante K\in\mathbb{R})
(c) y=5\,x^{-3/2}

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