A velocidade de uma partícula é dada pela expressão abaixo:
a) Defina o módulo da velocidade no ponto
.
b) Escreva a equação da linha de corrente deste campo de velocidades.
c) Qual a equação da linha de corrente que passa no ponto (
)?
a) Defina o módulo da velocidade no ponto
b) Escreva a equação da linha de corrente deste campo de velocidades.
c) Qual a equação da linha de corrente que passa no ponto (
Passo 1
O enunciado dá um campo de velocidade bidimensional e pede três coisas. Informações fornecidas:
- O campo de velocidade é
. - O ponto particular é
.
O que é pedido:
- (a) o módulo da velocidade no ponto
; - (b) a equação da linha de corrente (equação geral das linhas de corrente desse campo);
- (c) a equação da linha de corrente que passa em
.
Também anotei as componentes do campo (úteis para todo o exercício):
- componente
: ; - componente
: .
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o módulo da velocidade. Lembrete prático: o módulo de um vetor bidimensional
é dado por
Aqui temos
e
. No ponto
substitui-se
e
:
Agora o módulo:
Se quiser uma aproximação decimal,
. Isso é tudo para a parte (a).
Passo 3
Agora a linha de corrente. Conceito prático: uma linha de corrente é uma curva no plano cujos pontos têm tangente alinhada com o vetor velocidade naquele ponto. Se a linha de corrente é dada por
, a inclinação da curva é
. A condição de tangência fornece a famosa relação
Explicando rapidinho: se a curva for parametrizada por um parâmetro
, então
porque
é direção do vetor velocidade.
Passo 4
Aplicando ao nosso campo, substituímos
e
:
Isso é uma equação diferencial ordinária separável. Reescrevendo para separar
e
:
Integramos ambos os lados:
As integrais dão:
onde
é a constante de integração. Podemos combinar logs:
Exponenciando,
ou, absorvendo sinais na constante, a forma mais prática das linhas de corrente é
onde
é uma constante real (que pode ser positiva ou negativa, dependendo da linha). Outra forma equivalente, livre de frações na potência, é
Observação sobre domínio: como aparece
, normalmente trabalhamos em intervalos onde
não muda de sinal (por exemplo
ou
) para evitar complicações com raízes de potências fracionárias. Mas a expressão com
acima é a forma estrita.
Passo 5
Agora achamos a linha de corrente que passa pelo ponto
. Usamos a forma
e impomos
,
:
Logo
. Portanto a linha de corrente que passa por
é
ou, escrito de outro jeito,
Passo 6
Recapitulando em palavras amigáveis: a velocidade no ponto
tem componentes
e
, o que dá módulo
. As linhas de corrente são curvas do tipo
; a que passa por
tem constante
, então
. Vai dar tudo certo na prova — respira fundo, revise estes passos e treina mais um ou dois exercícios parecidos.
Resposta
(a)
(b) (constante
)
(c)
(b)
(c)