Nas fórmulas abaixo, resolva para a variável indicada, isto é, isole a variável indicada.
A=P\left(1+\frac{i}{100}\right)^{2} para i.

Passo 1

O enunciado dá a fórmula
A = P\left(1+\frac{i}{100}\right)^{2}
e pede para resolver para a variável indicada: i.
Informações relevantes que temos (tiradas do enunciado):
  • As quantidades A e P são consideradas conhecidas (constantes) no problema.
  • A incógnita é i.
  • Para operações algébricas que seguem, é preciso assumir P \neq 0 (pois vamos dividir por P).
    Não iniciamos a resolução neste passo, apenas listamos o que é dado e o que se pede.

Passo 2

Primeiro objetivo: isolar o fator que está elevado ao quadrado. Faço isso dividindo ambos os lados da equação por P (operações válidas se P\neq0):
\frac{A}{P}=\left(1+\frac{i}{100}\right)^{2}.
Explicação curta: dividir ambos os lados por P mantém a igualdade e elimina o P do lado direito.

Passo 3

Agora preciso “desfazer” o quadrado. Para isso tomo a raiz quadrada de ambos os lados. Ao tomar raiz quadrada de uma igualdade do tipo X^{2}=Y aparecem duas possibilidades: X=\sqrt{Y} ou X=-\sqrt{Y}. Aplicando isso:
1+\frac{i}{100}=\pm\sqrt{\frac{A}{P}}.
Observação didática: a presença do símbolo \pm indica as duas raízes (positiva e negativa). Se \dfrac{A}{P}<0 a raiz quadrada real não existe; nesse caso as soluções reais para i não existem. Em muitos contextos (por exemplo, A,P>0 e i sendo taxa), escolhe-se a raiz positiva — veremos isso adiante.

Passo 4

Agora isolo \dfrac{i}{100} subtraindo 1 de ambos os lados:
\frac{i}{100}=\pm\sqrt{\frac{A}{P}}-1.
Explicação didática: subtrair 1 é a operação inversa de somar 1; fazemos a mesma operação nos dois lados para manter a igualdade.

Passo 5

Multiplico ambos os lados por 100 para obter i:
i=100\left(\pm\sqrt{\frac{A}{P}}-1\right).
Esse é o resultado algébrico geral. Explicando o que cada parte significa:
  • \sqrt{\dfrac{A}{P}} é a razão entre A e P com raiz quadrada.
  • O \pm indica as duas soluções possíveis (quando se aceita solução real).
  • Multiplicar por 100 converte a fração \dfrac{i}{100} de volta para i.

Passo 6

Interpretação prática / escolha da raiz (dica para prova): se A e P são positivos e i representa uma taxa porcentual razoável, normalmente toma-se a raiz positiva, porque \;1+\dfrac{i}{100}\; costuma ser não negativa (i.e., >0). Nesse caso a solução prática é
i=100\left(\sqrt{\frac{A}{P}}-1\right).
Exemplo numérico rápido para fixar: se P=100 e A=121, então \sqrt{A/P}=\sqrt{1{,}21}=1{,}1 e
i=100(1{,}1-1)=100(0{,}1)=10,
ou seja, i=10\%.

Resposta

i=100\left(\pm\sqrt{\dfrac{A}{P}}-1\right)

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