Diga se as igualdades e equivalências seguintes são verdadeiras ou falsas. Corrija as falsas.
Passo 1
O enunciado pede que eu diga se a equivalência
é verdadeira ou falsa, e que eu corrija se for falsa. A única informação dada é a própria fórmula
. Vou analisar o significado de cada lado e as hipóteses necessárias.
Passo 2
Primeiro, preciso lembrar o que significa
. Por definição, para números reais,
é o número real não negativo cuja segunda potência é
. Logo:
-
está definido apenas quando . -
por construção (é a raiz principal).
Também lembrar uma propriedade básica: para todo
vale
. Portanto, se
para algum
, então necessariamente
. Isso já mostra que não dá para ter
com
no conjunto dos reais.
Passo 3
Agora, suponha que
com
. Como argumentei, então
, logo
existe. Seja
(então
e
). Temos
Quando duas quantidades têm o mesmo quadrado, elas podem ser iguais ou opostas: isso significa que
ou
. Em símbolos:
Logo, a equação
produz normalmente duas soluções possíveis quanto ao sinal de
, salvo casos especiais.
Passo 4
Verifico a recíproca: se
e
, então escrevendo
obtemos
Portanto a condição
e
é equivalente a
.
Passo 5
Exemplos úteis para fixar a ideia:
- Se
, então e as soluções de são e . A afirmação dada (ou seja, ) perde a solução . - Se
, então e a única solução é ; aí funciona porque é a mesma coisa. - Se
(número real), não existe tal que ; logo é impossível e não está definido no conjunto dos reais.
Passo 6
Conclusão lógica: a equivalência original
é falsa como está escrita, porque ignora a possibilidade de
ser negativo e também não explicita a condição
. A forma correta, trabalhando com números reais, é incluir as duas raízes e a condição sobre
. Se houver a restrição adicional
, aí a versão com apenas
fica correta.
Resposta
Falsa. Correção (reais):
Casos especiais: se além disso
, então