Diga se as igualdades e equivalências seguintes são verdadeiras ou falsas. Corrija as falsas.
x^{2}=y \Leftrightarrow x=\sqrt{y}

Passo 1

O enunciado pede que eu diga se a equivalência x^{2}=y \Leftrightarrow x=\sqrt{y} é verdadeira ou falsa, e que eu corrija se for falsa. A única informação dada é a própria fórmula x^{2}=y \Leftrightarrow x=\sqrt{y}. Vou analisar o significado de cada lado e as hipóteses necessárias.

Passo 2

Primeiro, preciso lembrar o que significa \sqrt{y}. Por definição, para números reais, \sqrt{y} é o número real não negativo cuja segunda potência é y. Logo:
  • \sqrt{y} está definido apenas quando y\ge 0.
  • \sqrt{y}\ge 0 por construção (é a raiz principal).
Também lembrar uma propriedade básica: para todo x\in\mathbb{R} vale x^{2}\ge 0. Portanto, se x^{2}=y para algum x\in\mathbb{R}, então necessariamente y\ge 0. Isso já mostra que não dá para ter x^{2}=y com y<0 no conjunto dos reais.

Passo 3

Agora, suponha que x^{2}=y com x,y\in\mathbb{R}. Como argumentei, então y\ge 0, logo \sqrt{y} existe. Seja r=\sqrt{y} (então r\ge 0 e r^{2}=y). Temos
x^{2}=y=r^{2}.
Quando duas quantidades têm o mesmo quadrado, elas podem ser iguais ou opostas: isso significa que x=r ou x=-r. Em símbolos:
x^{2}=y \quad\Rightarrow\quad x\in\{r,-r\}=\{\sqrt{y},-\sqrt{y}\}.
Logo, a equação x^{2}=y produz normalmente duas soluções possíveis quanto ao sinal de x, salvo casos especiais.

Passo 4

Verifico a recíproca: se y\ge 0 e x\in\{\sqrt{y},-\sqrt{y}\}, então escrevendo r=\sqrt{y} obtemos
x=\pm r \quad\Rightarrow\quad x^{2}=r^{2}=y.
Portanto a condição y\ge 0 e x=\pm\sqrt{y} é equivalente a x^{2}=y.

Passo 5

Exemplos úteis para fixar a ideia:
  • Se y=4, então \sqrt{4}=2 e as soluções de x^{2}=4 são x=2 e x=-2. A afirmação dada x=\sqrt{y} (ou seja, x=2) perde a solução x=-2.
  • Se y=0, então \sqrt{0}=0 e a única solução é x=0; aí x=\sqrt{y} funciona porque -\sqrt{0}=0 é a mesma coisa.
  • Se y=-1 (número real), não existe x\in\mathbb{R} tal que x^{2}=-1; logo x^{2}=y é impossível e \sqrt{y} não está definido no conjunto dos reais.

Passo 6

Conclusão lógica: a equivalência original x^{2}=y \Leftrightarrow x=\sqrt{y} é falsa como está escrita, porque ignora a possibilidade de x ser negativo e também não explicita a condição y\ge 0. A forma correta, trabalhando com números reais, é incluir as duas raízes e a condição sobre y. Se houver a restrição adicional x\ge 0, aí a versão com apenas \sqrt{y} fica correta.

Resposta

Falsa. Correção (reais): x^{2}=y \Leftrightarrow \bigl(y\ge 0 \text{ e } x\in\{\sqrt{y},-\sqrt{y}\}\bigr)
Casos especiais: se além disso x\ge 0, então x^{2}=y \Leftrightarrow \bigl(y\ge 0 \text{ e } x=\sqrt{y}\bigr)

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