Quais as fórmulas do momento de inércia de uma superficie por integração ( Ix e ly)? E quando se fala em momento polar de inércia (jo), qual a relação deste momento com lk e ly? ( 1,0 ponto).
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Listar as fórmulas do momento de inércia de uma superfície por integração para
e . - Dizer, quando se fala em momento polar de inércia
, qual é a relação entre e e .
Informações implícitas que usaremos:
- Existe uma área
no plano com um sistema de coordenadas cartesianas . - A diferencial de área será representada por
. - Os eixos
e são eixos do plano; é o momento polar em relação ao ponto (geralmente a origem), ou seja, eixo perpendicular ao plano passando por .
Passo 2
O que é, de modo intuitivo, o momento de inércia de uma área?
- É uma medida de quanto a área está “distribuída” em relação a um eixo: quanto mais longe a área estiver do eixo, maior o momento.
- Para um elemento infinitesimal de área
localizado em , a contribuição ao momento de inércia em relação ao eixo depende apenas da distância vertical até o eixo , que é . Como a contribuição segue a lei quadrática, usamos . - Analogamente, para o eixo
usamos a distância horizontal e a contribuição é proporcional a .
Passo 3
Fórmulas por integração (explicação passo a passo)
- Elemento de contribuição para o momento em relação ao eixo
: - Um pequeno pedaço de área
situado em tem momento infinitesimal em torno do eixo : . - Integrando sobre toda a área
obtemos:
- Aqui
tem unidades de comprimento à quarta potência (por ex. ) porque dá e dá .
- Um pequeno pedaço de área
- Elemento de contribuição para o momento em relação ao eixo
: - Similarmente,
. - Integrando:
- Similarmente,
- Observações práticas:
- Essas integrais podem ser avaliadas em coordenadas cartesianas, polares, etc., escolhendo
apropriado ( em cartesianas, em polares). - Se os eixos não passam pelo centróide e for preciso passar para um eixo paralelo que passe pelo centróide, usa-se o teorema dos eixos paralelos (veja passo seguinte).
- Essas integrais podem ser avaliadas em coordenadas cartesianas, polares, etc., escolhendo
Passo 4
Teorema dos eixos paralelos (fórmula útil e ensino rápido)
- Se
é o momento de inércia em torno do eixo que passa pelo centróide e se deseja o momento em torno de um eixo paralelo a e distante (na direção ) do centróide, vale: onde é a área total e é a distância entre eixos (no caso para eixo paralelo a , é a coordenada do deslocamento do centróide). Analogamente, (interpretando conforme o deslocamento). Essa fórmula é muito usada na prova para transladar momentos para eixos que não passam pelo centro de massa da área.
Passo 5
Definição do momento polar de inércia e relação com
e
- O momento polar de inércia em relação ao ponto
(origem) é definido integrando a distância radial ao quadrado: onde é o quadrado da distância do ponto até . - Substituindo
obtemos diretamente: - Reconhecendo as integrais obtemos a relação fundamental:
- Assim, o momento polar em relação a
é simplesmente a soma dos momentos de inércia em relação aos eixos cartesianos ortogonais que passam por .
- Assim, o momento polar em relação a
Passo 6
Exemplo rápido (aplicação prática pequena) — retângulo centrado na origem
- Considere um retângulo de base
ao longo do eixo e altura ao longo do eixo , centrado na origem. Então os limites são e e . - Calcular
: - Analogamente
. - Então o momento polar
.