Quais as fórmulas do momento de inércia de uma superficie por integração ( Ix e ly)? E quando se fala em momento polar de inércia (jo), qual a relação deste momento com lk e ly? ( 1,0 ponto).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Listar as fórmulas do momento de inércia de uma superfície por integração para I_x e I_y.
  • Dizer, quando se fala em momento polar de inércia J_O, qual é a relação entre J_O e I_x e I_y.
Informações implícitas que usaremos:
  • Existe uma área A no plano com um sistema de coordenadas cartesianas (x,y).
  • A diferencial de área será representada por dA.
  • Os eixos x e y são eixos do plano; J_O é o momento polar em relação ao ponto O (geralmente a origem), ou seja, eixo perpendicular ao plano passando por O.

Passo 2

O que é, de modo intuitivo, o momento de inércia de uma área?
  • É uma medida de quanto a área está “distribuída” em relação a um eixo: quanto mais longe a área estiver do eixo, maior o momento.
  • Para um elemento infinitesimal de área dA localizado em (x,y), a contribuição ao momento de inércia em relação ao eixo x depende apenas da distância vertical até o eixo x, que é |y|. Como a contribuição segue a lei quadrática, usamos y^2.
  • Analogamente, para o eixo y usamos a distância horizontal |x| e a contribuição é proporcional a x^2.

Passo 3

Fórmulas por integração (explicação passo a passo)
  • Elemento de contribuição para o momento em relação ao eixo x:
    • Um pequeno pedaço de área dA situado em (x,y) tem momento infinitesimal em torno do eixo x: dI_x = y^2\,dA.
    • Integrando sobre toda a área A obtemos:
    I_x=\iint_{A} y^2\,dA.
    • Aqui I_x tem unidades de comprimento à quarta potência (por ex. \text{m}^4) porque y^2 \text{m}^2 e dA \text{m}^2.
  • Elemento de contribuição para o momento em relação ao eixo y:
    • Similarmente, dI_y = x^2\,dA.
    • Integrando:
    I_y=\iint_{A} x^2\,dA.
  • Observações práticas:
    • Essas integrais podem ser avaliadas em coordenadas cartesianas, polares, etc., escolhendo dA apropriado ( dA=dx\,dy em cartesianas, dA=r\,dr\,d\theta em polares).
    • Se os eixos não passam pelo centróide e for preciso passar para um eixo paralelo que passe pelo centróide, usa-se o teorema dos eixos paralelos (veja passo seguinte).

Passo 4

Teorema dos eixos paralelos (fórmula útil e ensino rápido)
  • Se I_{x_c} é o momento de inércia em torno do eixo x que passa pelo centróide G e se deseja o momento em torno de um eixo x' paralelo a x e distante d (na direção y) do centróide, vale: I_{x'} = I_{x_c} + A\,d^{2},onde A é a área total e d é a distância entre eixos (no caso para eixo paralelo a x, d é a coordenada y do deslocamento do centróide). Analogamente, I_{y'} = I_{y_c} + A\,d^{2}(interpretando d conforme o deslocamento). Essa fórmula é muito usada na prova para transladar momentos para eixos que não passam pelo centro de massa da área.

Passo 5

Definição do momento polar de inércia e relação com I_x e I_y
  • O momento polar de inércia em relação ao ponto O (origem) é definido integrando a distância radial ao quadrado: J_O = \iint_{A} r^{2}\,dA,onde r^{2}=x^{2}+y^{2} é o quadrado da distância do ponto (x,y) até O.
  • Substituindo r^{2} obtemos diretamente: J_O=\iint_{A} (x^{2}+y^{2})\,dA = \iint_{A} x^{2}\,dA + \iint_{A} y^{2}\,dA.
  • Reconhecendo as integrais obtemos a relação fundamental: J_O = I_x + I_y.
    • Assim, o momento polar em relação a O é simplesmente a soma dos momentos de inércia em relação aos eixos cartesianos ortogonais que passam por O.

Passo 6

Exemplo rápido (aplicação prática pequena) — retângulo centrado na origem
  • Considere um retângulo de base b ao longo do eixo x e altura h ao longo do eixo y, centrado na origem. Então os limites são x\in\left[-\tfrac{b}{2},\tfrac{b}{2}\right] e y\in\left[-\tfrac{h}{2},\tfrac{h}{2}\right] e dA=dx\,dy.
  • Calcular I_x: I_x=\int_{x=-\tfrac{b}{2}}^{\tfrac{b}{2}}\int_{y=-\tfrac{h}{2}}^{\tfrac{h}{2}} y^{2}\,dy\,dx =\int_{x=-\tfrac{b}{2}}^{\tfrac{b}{2}}\left[\frac{y^{3}}{3}\right]_{-\tfrac{h}{2}}^{\tfrac{h}{2}}dx =\int_{x=-\tfrac{b}{2}}^{\tfrac{b}{2}}\frac{2\left(\tfrac{h}{2}\right)^{3}}{3}\,dx =\frac{b h^{3}}{12}.
  • Analogamente I_y=\dfrac{h b^{3}}{12}.
  • Então o momento polar J_O=I_x+I_y=\dfrac{b h^{3}}{12}+\dfrac{h b^{3}}{12}.

Resposta

I_x=\iint_{A} y^{2}\,dA
I_y=\iint_{A} x^{2}\,dA
J_O=\iint_{A} (x^{2}+y^{2})\,dA \;=\; I_x+I_y

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