3 { }^{\text {a }} ) Pelo método das seções calcule as funções do esforço cortante V(x) e momento fletor M(x) para a bandeja, onde está aplicada a força (para simplificação considere a bandeja como uma viga reta entre uma mola e outra). ( 0,5 ponto)

Passo 1

O enunciado pede que, pelo método das seções, eu calcule as funções do esforço cortante V(x) e do momento fletor M(x) para a bandeja, onde está aplicada a força, considerando a bandeja como uma viga reta entre uma mola e outra.
Informações que o enunciado fornece explicitamente:
  • Pedir: as funções V(x) e M(x).
  • Simplificação dada: considerar a bandeja como uma viga reta entre uma mola e outra.
Informações que o enunciado não dá (mas são relevantes/necessárias):
  • Geometria da viga: comprimento total L.
  • Posição da(s) mola(s) (p.ex. nas extremidades?) e suas constantes elásticas k_1, k_2 (se relevantes).
  • Tipo de apoio real (as molas são os únicos apoios? há apoio extra?).
  • Tipo, posição e intensidade da força aplicada (força concentrada P em x = a? força distribuída? direção vertical?).
  • Convenção de sinais (orientação positiva para V e M) e origem da coordenada x.

Passo 2

Por que não posso dar V(x) e M(x) numéricos e específicos com os dados atuais:
  • Se a figura ou valores (posição e intensidade da força, constantes das molas, comprimento L) não forem fornecidos, o problema fica indeterminado.
  • Se as molas atuam como apoios elásticos, o sistema costuma ser estaticamente indeterminado: as reações nas molas dependem da rigidez das molas e das deformações da viga, exigindo equilíbrio + compatibilidade (equações de elasticidade). Sem os valores de k e sem a posição da carga não é possível determinar as reações e, portanto, V(x) e M(x).
    Portanto: não há como fornecer as funções específicas exigidas sem a figura/dados indicados acima.

Passo 3

O que eu posso fazer para te ajudar (sem pedir nada a mais):
  • Explicar didaticamente o método das seções passo a passo (o que fazer na prova).
  • Apresentar uma solução completa e detalhada para o caso típico e didático mais usado em provas: viga reta apoiada nas extremidades (apoios simples) com uma carga concentrada P em x=a. Essa é uma maneira prática de aprender o método das seções; se o teu problema for diferente (molhas com rigidez finita), eu explico depois como proceder com o método dos deslocamentos / compatibilidade.
    Vou portanto desenvolver o caso didático (apoios simples) de forma bem mastigada — assim você aprende a técnica e consegue aplicar em variantes na prova.

Passo 4

Definindo convenções e coordenadas (coisa que sempre faça na prova)
  • Adote a viga retilínea de comprimento L, eixo x medido desde a extremidade esquerda: x=0 à esquerda e x=L à direita.
  • Considere uma carga concentrada vertical para baixo de intensidade P aplicada em x=a (com 0<a<L). (Isto é uma hipótese-padrão para exemplificar o método.)
  • Convenção de sinais que usarei (padrão clássico, mas sempre escreva a tua na prova):
    • Esforço cortante V(x) positivo quando a ação interna no corte faz com que o pedaço à esquerda rode no sentido anti-horário (ou, equivalentemente, força superior no pedaço direito). Na prática: para viga com carga para baixo, à esquerda do corte V tende a ser positivo se a reação esquerda for para cima.
    • Momento fletor M(x) positivo quando produz concavidade positiva (fletor que ‘abre para cima’ com fibra superior em compressão) — padrão convensional.
  • Desenhe sempre o diagrama de corpo livre (free-body) da parte da viga que você está isolando ao cortar em x.

Passo 5

Resumo do método das seções (passos a seguir na prova)
  1. Determine as reações externas (reações de apoio) usando as equações de equilíbrio global da viga inteira: \sum F_y = 0,\qquad \sum M = 0.
  2. Escolha uma posição de corte x. Para cargas pontuais use cortes em regiões separadas (antes e depois da carga): geralmente teremos duas regiões: 0\le x<a e a<x\le L.
  3. Desenhe a parte da viga à esquerda (ou à direita) do corte; represente as reações externas que atuam nesse pedaço e, no ponto de corte, represente as forças internas desconhecidas: V(x) e M(x).
  4. Aplique as equações de equilíbrio desse pedaço isolado: \sum F_y = 0 \quad\Rightarrow\quad \text{relaciona }V(x)\text{ com reações e cargas à esquerda},çõà
\sum M = 0 \quad\Rightarrow\quad \text{expressão para }M(x).ã
  1. Refaça para cada região onde a expressão muda (p.ex. atravessou a carga pontual).
  2. Monte as expressões de V(x) e M(x) por partes e confira continuidade de M (descontinuidade na derivada corresponde a V, etc.). Desenhe diagramas de V e M.

Passo 6

Exemplo completo e passo a passo — viga apoiada simplesmente nas extremidades com carga pontual P em x=a
(Nesta subseção faço tudo com contas explicitadas; copie a mesma rotina para outros casos.)
  1. Reações nos apoios (apoiando nas extremidades esquerda e direita, reações R_L em x=0 e R_R em x=L). Equilíbrios globais:
\sum F_y = 0:\qquad R_L + R_R - P = 0 \quad\Rightarrow\quad R_L + R_R = P.
\sum M_{x=0} = 0:\qquad -P\cdot a + R_R\cdot L = 0 \quad\Rightarrow\quad R_R = \dfrac{P\,a}{L}.
Substituindo em R_L+R_R=P obtém-se
R_L = P - R_R = P - \dfrac{P\,a}{L} = \dfrac{P(L-a)}{L}.
  1. Região 1: 0\le x < a (esquerda da carga). Corte em x nesta região e faça equilíbrio da parte esquerda:
  • Forças verticais: R_L para cima e V(x) (no corte). Sumário:
\sum F_y = 0:\qquad R_L - V(x) = 0 \quad\Rightarrow\quad V(x) = R_L = \dfrac{P(L-a)}{L}.
  • Momentos tomando momentos no corte (ou somando momentos em x para achar M(x)). Tomando momentos positivos anticlockwise e somando momentos das cargas à esquerda em relação ao corte:
\sum M_{\text{no corte}} = 0:\qquad M(x) - R_L\cdot x = 0 \quad\Rightarrow\quad M(x) = R_L\,x = \dfrac{P(L-a)}{L}\,x.
  1. Região 2: a < x \le L (à direita da carga). Corte em x nessa região; parte esquerda agora contém R_L e a carga P em x=a.
  • Equilíbrio vertical:
\sum F_y = 0:\qquad R_L - P - V(x) = 0 \quad\Rightarrow\quad V(x) = R_L - P = \dfrac{P(L-a)}{L} - P = -\dfrac{P\,a}{L}.
(Perceba que V(x) é constante em cada região: positivo à esquerda da carga e negativo à direita, com salto igual a -P ao atravessar a carga.)
  • Momento fletor: somando momentos no corte (contando as contribuições de R_L e da carga P):
\sum M_{\text{no corte}} = 0:\qquad M(x) - R_L\cdot x + P\cdot(x-a) = 0,
logo
M(x) = R_L\,x - P\,(x-a) = \dfrac{P(L-a)}{L}\,x - P(x-a).
É útil simplificar:
M(x) = P\!\left(\dfrac{L-a}{L}\,x - x + a\right) = P\!\left(a - \dfrac{a}{L}\,x\right) = \dfrac{P\,a}{L}\,(L-x).
Observação: outra forma conhecida (simétrica) é, para x>a,
M(x)=R_R\,(L-x)\quad\text{com}\quad R_R=\dfrac{P\,a}{L},
o que coincide com a expressão obtida.
  1. Resumo final (caso apoio simples, carga pontual P em x=a):
  • Para 0\le x < a:
V(x)=\dfrac{P(L-a)}{L},\qquad M(x)=\dfrac{P(L-a)}{L}\,x.
  • Para a < x \le L:
V(x)=-\dfrac{P\,a}{L},\qquad M(x)=\dfrac{P\,a}{L}\,(L-x).
Estas expressões são contínuas em M (em x=a há um pico de momento absoluto máximo) e V sofre salto de magnitude P ao atravessar x=a, conforme esperado.

Passo 7

E se as extremidades forem molas (apoios elásticos) — como proceder (esquema prático para a prova)
  • Observação: com molas nos apoios o problema geralmente fica estaticamente indeterminado. Procedimento padrão:
    1. Escreva equilíbrio global: R_1+R_2=P.
    2. As reações R_1,R_2 estão relacionadas às deformações das molas: R_1=k_1\,\delta_1, R_2=k_2\,\delta_2, onde \delta_i é compressão/alongamento da mola i.
    3. As \delta_i são iguais às deflexões da viga nos pontos de apoio (compatibilidade). Use teoria da viga (p.ex. fórmula de deflexão por cargas, superposição ou método dos deslocamentos) para expressar \delta_1,\delta_2 em função das reações R_1,R_2 e da carga P. Ou seja, escreva
    \delta_1 = f_{11}R_1 + f_{12}R_2 - f_{1P}P,
\delta_2 = f_{21}R_1 + f_{22}R_2 - f_{2P}P,
onde os f_{ij} são coeficientes de flexibilidade (dependem de L, da posição da carga e da rigidez da viga EI). Esses coeficientes podem ser obtidos pela aplicação do método dos deslocamentos (ou pela aplicação de cargas unitárias e cálculo das deflexões).
4. Combine com R_i=k_i\delta_i para obter um sistema linear nas incógnitas R_1,R_2. Resolva esse sistema (geralmente 2x2) para obter R_1,R_2 em função de P. Depois use método das seções para obter V(x) e M(x) com essas R_i.
  • Dica prática: em prova, se te der molas e pedir V(x) e M(x), provavelmente espera-se montar essas equações de compatibilidade e resolver simbolicamente (sem números) ou usar o método de superposição. Requer conhecer como calcular deflexões (ex.: tabelas de casos, função influência, ou método da força unitária).

Passo 8

Conselhos de prova (motivação e checklist)
  • Sempre comece desenhando o esquema com coordenada x e indicando cargas/reações.
  • Determine reações externas primeiro (se possível por estática).
  • Faça cortes nas regiões necessárias (cada vez que cruzar uma carga concentrada a expressão de V muda).
  • Verifique sinais e unidades.
  • Se houver molas/apoios elásticos: estruturar o problema como estaticamente indeterminado e aplique compatibilidade; escreva o sistema e resolva simbolicamente.
    Você consegue isso — respira fundo, desenha e aplica as equações passo a passo.

Resposta

Não é possível determinar V(x) e M(x) especificamente porque faltam a figura e dados essenciais (comprimento L, posição e intensidade da força, constantes das molas e condições exatas de apoio). Seestes forem apoios simples e a carga for uma concentração P em x=a, então as funções são, para 0\le x<a:
V(x)=\dfrac{P(L-a)}{L},\qquad M(x)=\dfrac{P(L-a)}{L}\,x,
e para a<x\le L:
V(x)=-\dfrac{P\,a}{L},\qquad M(x)=\dfrac{P\,a}{L}\,(L-x).

Exercícios relacionados