3^{\text {a }} Questão (Valor: 2,5): O ponto mais criticamente solicitado de uma peça revelou estar sob estado plano de tensão em que as tensões principais no plano de tensões são +270 MPa e +90 MPa . Qual o coeficiente de segurança empregado no projeto nessa peça, se foram empregados um material de tensão normal de escoamento 280 MPa e a teoria da máxima densidade de energia de distorção?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede, sem resolver nada ainda.
  • Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
    • Tensões principais no plano: \sigma_1=+270\\ \text{MPa} e \sigma_2=+90\\ \text{MPa}.
    • Como é estado plano de tensão, a terceira tensão principal no espaço vale \sigma_3=0\\ \text{MPa}.
    • Tensão de escoamento do material: \sigma_y=280\\ \text{MPa}.
  • O enunciado pede:
    • Calcular o coeficiente de segurança (fator de segurança) empregado no projeto, usando a teoria da máxima densidade de energia de distorção (critério de von Mises).

Passo 2

Explicação didática do critério de máxima densidade de energia de distorção (von Mises) e fórmula a usar.
  • Ideia física (curta e intuitiva): o critério de von Mises diz que o material entra em escoamento quando a energia associada à deformação que muda a forma (energia de distorção) atinge um certo limite. Em prática, isso é traduzido numa “tensão equivalente” \sigma_{\text{eq}} que combina as componentes principais de tensão em um único número. Se \sigma_{\text{eq}} atingir a tensão de escoamento \sigma_y, o material escoa.
  • Fórmula geral em termos das três tensões principais \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3:
\sigma_{\text{eq}}=\sqrt{\tfrac{1}{2}\big[(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2\big]}.
  • Outra forma equivalente (às vezes mais direta para cálculo) é:
\sigma_{\text{eq}}=\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2+\sigma_3^2-\sigma_1\sigma_2-\sigma_2\sigma_3-\sigma_3\sigma_1}.
  • O coeficiente de segurança n (fator de segurança) adotado no projeto, pelo critério de von Mises, é:
n=\frac{\sigma_y}{\sigma_{\text{eq}}},
ou seja, quantas vezes a tensão equivalente cabe na resistência ao escoamento.

Passo 3

Aplicando o caso ao estado plano de tensão fornecido.
  • Como estamos em estado plano, tomamos \sigma_3=0. Substituindo em uma forma conveniente da fórmula:
\sigma_{\text{eq}}=\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2-\sigma_1\sigma_2}.
  • Vou usar esta forma porque \sigma_3=0 elimina termos e deixa a conta direta.

Passo 4

Cálculo passo a passo da tensão equivalente \sigma_{\text{eq}}.
  • Substituir \sigma_1=270\\ \text{MPa} e \sigma_2=90\\ \text{MPa} na fórmula:
\sigma_{\text{eq}}=\sqrt{(270)^2+(90)^2-(270)(90)}.
  • Calcular cada termo:
    • (270)^2 = 72900
    • (90)^2 = 8100
    • (270)(90) = 24300
  • Somando/subtraindo:
72900 + 8100 - 24300 = 56700.
  • Raiz quadrada:
\sigma_{\text{eq}}=\sqrt{56700}\approx 238{,}11\\ \text{MPa}.

Passo 5

Cálculo do coeficiente de segurança n.
  • Fórmula:
n=\frac{\sigma_y}{\sigma_{\text{eq}}}.
  • Substituindo \sigma_y=280\\ \text{MPa} e \sigma_{\text{eq}}\approx238{,}11\\ \text{MPa}:
n=\frac{280}{238{,}11}\approx 1{,}176.
  • Arredondando de forma usual para duas casas decimais, n\approx 1{,}18.

Passo 6

Interpretação curta e incentivo.
  • Resultado: o fator de segurança é pequeno, pouco acima de 1, ou seja, a peça tem margem muito reduzida entre a tensão equivalente no ponto crítico e a tensão de escoamento do material. Isso indica que o projeto está quase no limite de escoamento — em provas com perguntas de interpretação, vale comentar isso.
  • Força! Você seguiu os passos corretos: identificar tensões, aplicar von Mises, calcular \sigma_{\text{eq}}, e dividir \sigma_y por \sigma_{\text{eq}}.

Resposta

n \approx 1{,}18

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