Fixado um sistema ortogonal ( (0, \vec{i}, \vec{j} )).
Escreva a equação reduzida da elipse, dados:
os focos
e dois vértices
Escreva a equação reduzida da elipse, dados:
os focos
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pede: escrever a equação reduzida (forma padrão) da elipse.
- Dados fornecidos:
- Focos:
. - Vértices:
.
- Focos:
Não se resolve nada neste passo, só identifiquei claramente o pedido e os dados.
Passo 2
Entendendo as incógnitas que aparecem na forma padrão da elipse e a relação entre elas.
- A forma padrão de uma elipse centrada na origem com eixo maior sobre o eixo
é
Aqui:
-
é o semi-eixo maior (distância do centro ao vértice sobre o eixo maior). -
é o semi-eixo menor (distância do centro ao vértice sobre o eixo menor). -
é a distância do centro a cada foco (ou seja, os focos estão em para eixo maior horizontal). -
Existe uma relação fundamental entre esses parâmetros para uma elipse:
Vou explicar rapidamente por que isso vale (é útil para provas): considere o ponto superior da elipse
. A soma das distâncias desse ponto aos dois focos é, pela definição de elipse, igual a
. As duas distâncias são iguais e valem
, então
Elevando ao quadrado obtém-se
, que rearranjada dá
. É por isso que essa relação aparece sempre.
Passo 3
Identificar
e
a partir dos dados do enunciado.
- Os vértices são
. Isso significa que o semi-eixo maior é
- Os focos são
. Isso significa que
Passo 4
Calcular
(ou
) usando a relação
.
Substituindo
e
:
Agora os números:
Logo
, mas para a equação reduzida basta
.
Passo 5
Montar a equação reduzida substituindo
e
na forma padrão.
A forma padrão é
Substituindo
e
obtemos
Passo 6
Verificações rápidas e observações práticas (como revisar na prova).
- Verificação do foco pela fórmula
:
coincide com o foco dado
— bom sinal.
- Excentricidade:
. Útil para interpretar quão “esticada” é a elipse. - Regra prática para casos semelhantes:
- Se os vértices e focos tivessem coordenadas em
(ex.: e ), a equação seria (troca e na posição). - Se o centro não for a origem, desloca-se para
: .
- Se os vértices e focos tivessem coordenadas em