Fixado um sistema ortogonal ( (0, \vec{i}, \vec{j} )).
Escreva a equação reduzida da elipse, dados:
os focos ( \pm 5,0) e dois vértices ( \pm 13,0)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede: escrever a equação reduzida (forma padrão) da elipse.
  • Dados fornecidos:
    • Focos: (\pm 5,0).
    • Vértices: (\pm 13,0).
Não se resolve nada neste passo, só identifiquei claramente o pedido e os dados.

Passo 2

Entendendo as incógnitas que aparecem na forma padrão da elipse e a relação entre elas.
  • A forma padrão de uma elipse centrada na origem com eixo maior sobre o eixo x é
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.
Aqui:
  • a é o semi-eixo maior (distância do centro ao vértice sobre o eixo maior).
  • b é o semi-eixo menor (distância do centro ao vértice sobre o eixo menor).
  • c é a distância do centro a cada foco (ou seja, os focos estão em (\pm c,0) para eixo maior horizontal).
  • Existe uma relação fundamental entre esses parâmetros para uma elipse:
c^2 = a^2 - b^2.
Vou explicar rapidamente por que isso vale (é útil para provas): considere o ponto superior da elipse (0,b). A soma das distâncias desse ponto aos dois focos é, pela definição de elipse, igual a 2a. As duas distâncias são iguais e valem \sqrt{c^2+b^2}, então
2\sqrt{c^2+b^2}=2a \quad\Rightarrow\quad \sqrt{c^2+b^2}=a.
Elevando ao quadrado obtém-se a^2=c^2+b^2, que rearranjada dá c^2=a^2-b^2. É por isso que essa relação aparece sempre.

Passo 3

Identificar a e c a partir dos dados do enunciado.
  • Os vértices são (\pm 13,0). Isso significa que o semi-eixo maior é
a=13.
  • Os focos são (\pm 5,0). Isso significa que
c=5.

Passo 4

Calcular b (ou b^2) usando a relação c^2=a^2-b^2.
Substituindo a e c:
c^2 = a^2 - b^2 \quad\Rightarrow\quad b^2 = a^2 - c^2.
Agora os números:
b^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144.
Logo b=\sqrt{144}=12, mas para a equação reduzida basta b^2=144.

Passo 5

Montar a equação reduzida substituindo a^2 e b^2 na forma padrão.
A forma padrão é
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.
Substituindo a^2=169 e b^2=144 obtemos
\frac{x^2}{169}+\frac{y^2}{144}=1.

Passo 6

Verificações rápidas e observações práticas (como revisar na prova).
  • Verificação do foco pela fórmula c=\sqrt{a^2-b^2}:
\sqrt{169-144}=\sqrt{25}=5,
coincide com o foco dado (\pm 5,0) — bom sinal.
  • Excentricidade: \displaystyle e=\frac{c}{a}=\frac{5}{13}. Útil para interpretar quão “esticada” é a elipse.
  • Regra prática para casos semelhantes:
    • Se os vértices e focos tivessem coordenadas em y (ex.: (0,\pm a) e (0,\pm c)), a equação seria \dfrac{x^2}{b^2}+\dfrac{y^2}{a^2}=1 (troca a e b na posição).
    • Se o centro não for a origem, desloca-se para (h,k): \dfrac{(x-h)^2}{a^2}+\dfrac{(y-k)^2}{b^2}=1.

Resposta

\frac{x^2}{169}+\frac{y^2}{144}=1

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