Obtenha uma equação vetorial da reta t , paralela ao plano \pi: \mathrm{z}=0, que dista 3 dele e é concorrente com as retas:
\mathrm{r}: \mathrm{X}=(1,-1,-1)+\lambda(1,2,4) \quad \mathrm{s}:\left\{\begin{array}{l} x-y=1 \\ 3 y-2 z+6=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede: obter uma equação vetorial da reta t que satisfaça simultaneamente três condições:
  • t é paralela ao plano \pi:\;z=0.
  • A distância de t ao plano \pi é 3.
  • t é concorrente com as retas r e s (isto é, t intersecta as duas retas dadas).
As informações fornecidas são:
  • Plano \pi:\;z=0.
  • Reta \mathrm{r} em forma paramétrica:
\mathrm{r}:\;X=(1,-1,-1)+\lambda(1,2,4).
  • Reta \mathrm{s} dada pelo sistema de equações:
\begin{cases} x-y=1,\\[4pt] 3y-2z+6=0. \end{cases}
Não há figura; todos os dados relevantes estão escritos acima.]

Passo 2

Entendendo as condições e as ferramentas que vamos usar (aulas rápidas):
  • Um vetor é paralelo ao plano \pi:\;z=0 quando ele é ortogonal ao vetor normal de \pi. O vetor normal de \pi é (0,0,1). Logo um vetor v=(v_x,v_y,v_z) é paralelo a \pi se e somente se v\cdot(0,0,1)=v_z=0. Em palavras: a componente z da direção da reta tem de ser zero.
  • Se uma reta é paralela a \pi, então toda a reta está contida em um plano paralelo a \pi, isto é, em algum plano z=z_0 constante. A distância entre uma reta paralela ao plano \pi e o próprio plano \pi é igual à distância entre qualquer ponto da reta e o plano. Para um ponto (x_0,y_0,z_0) e o plano \pi:\;z=0 a distância é
\frac{|0\cdot x_0+0\cdot y_0+1\cdot z_0+0|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}}=|z_0|.
Portanto, pedir distância 3 significa que o plano que contém t é z=3 ou z=-3.
  • Para que t intersecte r e s, os pontos de interseção com r e com s devem ter a mesma coordenada z (pois t fica em z=3 ou z=-3). Assim basta procurar pontos nas retas r e s com z=3 (para o caso z=3) e com z=-3 (para o caso z=-3), e ligar esses pontos por uma reta cuja direção tenha z-componente zero.

Passo 3

Vamos parametrizar a reta s explicitamente para facilitar cálculos. Da equação x-y=1 temos x=1+y. Da equação 3y-2z+6=0 temos 2z=3y+6 ou z=\tfrac{3}{2}y+3. Tome parâmetro \mu=y. Assim uma forma paramétrica para s é
\mathrm{s}:\;X=(1,0,3)+\mu(1,1,\tfrac{3}{2}).
Note: peguei esses coeficientes resolvendo as equações de s.

Passo 4

Caso z=3. Procuramos pontos em r e em s com coordenada z=3.
  • Em r temos z=-1+4\lambda. Igualando a 3:
-1+4\lambda=3 \quad\Rightarrow\quad 4\lambda=4 \quad\Rightarrow\quad \lambda=1.
Substituindo \lambda=1 na expressão de r obtemos o ponto
P_r=(1+1,\,-1+2\cdot1,\,-1+4\cdot1)=(2,1,3).
  • Em s usamos a parametrização com \mu: z=\tfrac{3}{2}\mu+3. Igualando a 3:
\tfrac{3}{2}\mu+3=3 \quad\Rightarrow\quad \tfrac{3}{2}\mu=0 \quad\Rightarrow\quad \mu=0.
Substituindo \mu=0 na paramétrica de s obtemos o ponto
P_s=(1,0,3).
Ambos pontos têm z=3, logo existem pontos de r e s no plano z=3. A reta t contida no plano z=3 que intersecta r e s é a reta que passa por P_r e P_s.
Calcule a direção \overrightarrow{P_sP_r}=P_r-P_s=(2-1,\,1-0,\,3-3)=(1,1,0). Portanto uma equação vetorial possível para t no caso z=3 é
\boxed{\,X=(1,0,3)+t(1,1,0)\,}
ou, equivalentemente,
X=(2,1,3)+t(-1,-1,0).
Verificações rápidas: a direção tem componente z nula (paralela a \pi) e qualquer ponto tem |z|=3 (distância 3 ao plano).

Passo 5

Caso z=-3. Procuramos pontos em r e em s com z=-3.
  • Em r: -1+4\lambda=-3 leva a 4\lambda=-2, ou \lambda=-\tfrac{1}{2}. Substituindo na paramétrica de r obtemos
Q_r=\bigl(1-\tfrac{1}{2},\,-1+2(-\tfrac{1}{2}),\,-3\bigr)=\bigl(\tfrac{1}{2},\,-2,\,-3\bigr).
  • Em s: \tfrac{3}{2}\mu+3=-3 leva a \tfrac{3}{2}\mu=-6, ou \mu=-4. Substituindo na paramétrica de s obtemos
Q_s=(1-4,\,-4,\,-3)=(-3,-4,-3).
Ambos têm z=-3. A direção \overrightarrow{Q_sQ_r}=Q_r-Q_s=(\tfrac{1}{2}-(-3),\,-2-(-4),\,0)=(\tfrac{7}{2},2,0). Multiplicando por 2 para evitar frações, uma direção equivalente é (7,4,0). Assim uma equação vetorial para t no caso z=-3 é, por exemplo,
\boxed{\,X=(-3,-4,-3)+t(7,4,0)\,}
ou, usando o outro ponto,
X=\bigl(\tfrac{1}{2},-2,-3\bigr)+t\bigl(-7,-4,0\bigr).
Novamente a direção tem componente z nula e os pontos têm |z|=3.

Passo 6

Resumo da construção (motivação rápida): como t deve ser paralela a \pi e a distância ao plano é 3, t está contida em z=3 ou z=-3. Buscamos pontos de r e s com essas coordenadas z e ligamos os pares correspondentes; as retas obtidas satisfazem todas as condições.

Resposta

\boxed{X=(1,0,3)+t(1,1,0)}
\boxed{X=(-3,-4,-3)+t(7,4,0)}

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