Não há figura; todos os dados relevantes estão escritos acima.]
Passo 2
Entendendo as condições e as ferramentas que vamos usar (aulas rápidas):
Um vetor é paralelo ao plano \pi:\;z=0 quando ele é ortogonal ao vetor normal de \pi. O vetor normal de \pi é (0,0,1). Logo um vetor v=(v_x,v_y,v_z) é paralelo a \pi se e somente se v\cdot(0,0,1)=v_z=0. Em palavras: a componente z da direção da reta tem de ser zero.
Se uma reta é paralela a \pi, então toda a reta está contida em um plano paralelo a \pi, isto é, em algum plano z=z_0 constante. A distância entre uma reta paralela ao plano \pi e o próprio plano \pi é igual à distância entre qualquer ponto da reta e o plano. Para um ponto (x_0,y_0,z_0) e o plano \pi:\;z=0 a distância é
Portanto, pedir distância 3 significa que o plano que contém t é z=3 ou z=-3.
Para que t intersecte r e s, os pontos de interseção com r e com s devem ter a mesma coordenada z (pois t fica em z=3 ou z=-3). Assim basta procurar pontos nas retas r e s com z=3 (para o caso z=3) e com z=-3 (para o caso z=-3), e ligar esses pontos por uma reta cuja direção tenha z-componente zero.
Passo 3
Vamos parametrizar a reta s explicitamente para facilitar cálculos. Da equação x-y=1 temos x=1+y. Da equação 3y-2z+6=0 temos 2z=3y+6 ou z=\tfrac{3}{2}y+3. Tome parâmetro \mu=y. Assim uma forma paramétrica para s é
\mathrm{s}:\;X=(1,0,3)+\mu(1,1,\tfrac{3}{2}).
Note: peguei esses coeficientes resolvendo as equações de s.
Passo 4
Caso z=3. Procuramos pontos em r e em s com coordenada z=3.
Em s: \tfrac{3}{2}\mu+3=-3 leva a \tfrac{3}{2}\mu=-6, ou \mu=-4. Substituindo na paramétrica de s obtemos
Q_s=(1-4,\,-4,\,-3)=(-3,-4,-3).
Ambos têm z=-3. A direção \overrightarrow{Q_sQ_r}=Q_r-Q_s=(\tfrac{1}{2}-(-3),\,-2-(-4),\,0)=(\tfrac{7}{2},2,0). Multiplicando por 2 para evitar frações, uma direção equivalente é (7,4,0). Assim uma equação vetorial para t no caso z=-3 é, por exemplo,
Novamente a direção tem componente z nula e os pontos têm |z|=3.
Passo 6
Resumo da construção (motivação rápida): como t deve ser paralela a \pi e a distância ao plano é 3, t está contida em z=3 ou z=-3. Buscamos pontos de r e s com essas coordenadas z e ligamos os pares correspondentes; as retas obtidas satisfazem todas as condições.