Forneça dois exemplos de
números irracionais;
números irracionais;
Passo 1
O enunciado pede: fornecer dois exemplos de números irracionais.
Informações dadas: não há números nem condições adicionais; a tarefa é apenas dar dois exemplos e, como você quer aprender como reconhecer/mostrar que são irracionais, vou também provar por que cada exemplo é irracional, passo a passo.
Informações dadas: não há números nem condições adicionais; a tarefa é apenas dar dois exemplos e, como você quer aprender como reconhecer/mostrar que são irracionais, vou também provar por que cada exemplo é irracional, passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos combinar uma definição bem clara e simples do que é um número irracional.
- Dizemos que um número é racional se ele pode ser escrito como uma fração
, onde e são inteiros e . Por exemplo, , e são racionais. - Um número é irracional se ele não pode ser escrito dessa forma, ou seja, não existe par de inteiros
com tal que o número seja .
Vou mostrar dois exemplos clássicos e dar provas simples (por contradição) de que eles não podem ser escritos como
.
Passo 3
Exemplo 1: proponho
. Vou provar que
é irracional.
Prova por contradição (passo a passo):
- Suponha, para obter contradição, que
seja racional. Então existem inteiros e , com , tais que
e podemos escolher essa fração na forma irredutível (ou seja,
e
não têm nenhum divisor inteiro comum além de
).
2. Elevando ao quadrado ambos os lados:
2. Elevando ao quadrado ambos os lados:
- Da igualdade
segue que é par (pois é múltiplo de ). Se é par, então também é par. (Explicação curta: um inteiro ímpar ao quadrado é ímpar; portanto se o quadrado é par o número deve ser par.) - Como
é par, existe um inteiro tal que . Substituindo em :
- Daí
é par, logo é par. Assim concluímos que e são ambos pares, ou seja, têm o divisor comum . - Isso contradiz a escolha inicial de
como fração irredutível (não podiam ter divisor comum). Logo a suposição de que é racional está errada.
Portantoé irracional.
(Dica amiga: esse é o argumento clássico, bem direto — é ótimo para a prova.)
Passo 4
Exemplo 2: proponho
. A prova é muito semelhante, mas em vez de usar “par/ímpar” usamos divisibilidade por
.
Prova por contradição (passo a passo):
- Suponha que
seja racional: existem inteiros com e tais que
- Elevando ao quadrado:
- Da igualdade
segue que é múltiplo de . Vou usar o fato (lemminha rápida) de que se divide então divide . Explicação dessa lemminha de forma simples: qualquer inteiro deixa resto , ou ao dividir por . Seus quadrados deixam resto ou (porque , , modulo ). Portanto se é múltiplo de (resto ), o resto de também deve ser , então divide . - Aplicando a lemminha a
: como divide , então divide . Assim existe inteiro tal que . - Substituindo em
:
- Assim
é múltiplo de , logo é múltiplo de . Concluímos que e são ambos divisíveis por , o que contradiz .
Portanto a suposição era falsa eé irracional.
Passo 5
Resumo e extensão rápida (útil para a prova):
- Os dois exemplos fornecidos são
e , e ambos foram provados irracionais por contradição. - Uma generalização prática: se
é um inteiro positivo que não é quadrado perfeito (por exemplo ), então é irracional. A prova segue a mesma ideia: assumir e usar propriedades de divisibilidade dos primos que aparecem na fatoração de . - Outros exemplos comuns de números irracionais que você pode citar são
, e números famosos como e (essas últimas têm provas mais avançadas).
Força aí — você já tirou o medo do clássico
! Se quiser, eu te mostro a prova geral de que
é irracional quando
não é quadrado perfeito.