Forneça dois exemplos de
números irracionais;

Passo 1

O enunciado pede: fornecer dois exemplos de números irracionais.
Informações dadas: não há números nem condições adicionais; a tarefa é apenas dar dois exemplos e, como você quer aprender como reconhecer/mostrar que são irracionais, vou também provar por que cada exemplo é irracional, passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos combinar uma definição bem clara e simples do que é um número irracional.
  • Dizemos que um número é racional se ele pode ser escrito como uma fração \dfrac{p}{q}, onde p e q são inteiros e q\neq0. Por exemplo, \dfrac{3}{4}, -\dfrac{7}{2} e 5=\dfrac{5}{1} são racionais.
  • Um número é irracional se ele não pode ser escrito dessa forma, ou seja, não existe par de inteiros p,q com q\neq0 tal que o número seja \dfrac{p}{q}.
Vou mostrar dois exemplos clássicos e dar provas simples (por contradição) de que eles não podem ser escritos como \dfrac{p}{q}.

Passo 3

Exemplo 1: proponho \sqrt{2}. Vou provar que \sqrt{2} é irracional.
Prova por contradição (passo a passo):
  1. Suponha, para obter contradição, que \sqrt{2} seja racional. Então existem inteiros p e q, com q\neq0, tais que
\sqrt{2}=\frac{p}{q},
e podemos escolher essa fração na forma irredutível (ou seja, p e q não têm nenhum divisor inteiro comum além de \pm1).
2. Elevando ao quadrado ambos os lados:
2=\frac{p^{2}}{q^{2}}\quad\Rightarrow\quad 2q^{2}=p^{2}.
  1. Da igualdade 2q^{2}=p^{2} segue que p^{2} é par (pois é múltiplo de 2). Se p^{2} é par, então p também é par. (Explicação curta: um inteiro ímpar ao quadrado é ímpar; portanto se o quadrado é par o número deve ser par.)
  2. Como p é par, existe um inteiro k tal que p=2k. Substituindo em 2q^{2}=p^{2}:
2q^{2}=(2k)^{2}=4k^{2}\quad\Rightarrow\quad q^{2}=2k^{2}.
  1. Daí q^{2} é par, logo q é par. Assim concluímos que p e q são ambos pares, ou seja, têm o divisor comum 2.
  2. Isso contradiz a escolha inicial de \dfrac{p}{q} como fração irredutível (não podiam ter divisor comum). Logo a suposição de que \sqrt{2} é racional está errada.
    Portanto \sqrt{2} é irracional.
(Dica amiga: esse é o argumento clássico, bem direto — é ótimo para a prova.)

Passo 4

Exemplo 2: proponho \sqrt{3}. A prova é muito semelhante, mas em vez de usar “par/ímpar” usamos divisibilidade por 3.
Prova por contradição (passo a passo):
  1. Suponha que \sqrt{3} seja racional: existem inteiros p,q com q\neq0 e \gcd(p,q)=1 tais que
\sqrt{3}=\frac{p}{q}.
  1. Elevando ao quadrado:
3=\frac{p^{2}}{q^{2}}\quad\Rightarrow\quad 3q^{2}=p^{2}.
  1. Da igualdade 3q^{2}=p^{2} segue que p^{2} é múltiplo de 3. Vou usar o fato (lemminha rápida) de que se 3 divide a^{2} então 3 divide a. Explicação dessa lemminha de forma simples: qualquer inteiro a deixa resto 0, 1 ou 2 ao dividir por 3. Seus quadrados deixam resto 0 ou 1 (porque 0^{2}\equiv0, 1^{2}\equiv1, 2^{2}\equiv4\equiv1 modulo 3). Portanto se a^{2} é múltiplo de 3 (resto 0), o resto de a também deve ser 0, então 3 divide a.
  2. Aplicando a lemminha a p^{2}: como 3 divide p^{2}, então 3 divide p. Assim existe inteiro k tal que p=3k.
  3. Substituindo em 3q^{2}=p^{2}:
3q^{2}=(3k)^{2}=9k^{2}\quad\Rightarrow\quad q^{2}=3k^{2}.
  1. Assim q^{2} é múltiplo de 3, logo q é múltiplo de 3. Concluímos que p e q são ambos divisíveis por 3, o que contradiz \gcd(p,q)=1.
    Portanto a suposição era falsa e \sqrt{3} é irracional.

Passo 5

Resumo e extensão rápida (útil para a prova):
  • Os dois exemplos fornecidos são \sqrt{2} e \sqrt{3}, e ambos foram provados irracionais por contradição.
  • Uma generalização prática: se n é um inteiro positivo que não é quadrado perfeito (por exemplo n=2,3,5,6,\dots), então \sqrt{n} é irracional. A prova segue a mesma ideia: assumir \sqrt{n}=p/q e usar propriedades de divisibilidade dos primos que aparecem na fatoração de n.
  • Outros exemplos comuns de números irracionais que você pode citar são \sqrt{5}, \sqrt{7} e números famosos como \pi e e (essas últimas têm provas mais avançadas).
Força aí — você já tirou o medo do clássico \sqrt{2}! Se quiser, eu te mostro a prova geral de que \sqrt{n} é irracional quando n não é quadrado perfeito.

Resposta

\sqrt{2}
\sqrt{3}

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