Forneça o domínio, a imagem, e o gráfico das funções abaixo. Em seguida calcule as derivadas das respectivas funções.
y(x)=\cos (x)

Passo 1

O enunciado pede o domínio, a imagem, o gráfico e a derivada da função trigonométrica
y(x)=\cos(x).
Para resolver, vamos usar propriedades de funções trigonométricas (definição, amplitude, período) e a regra de derivação de \cos(x).

Passo 2

A função \cos(x) está definida para todo x\in\mathbb{R}.
Logo, o domínio é \mathbb{R}.

Passo 3

Como \cos(x) oscila entre -1 e 1 para qualquer x, sua imagem é
[-1,1].

Passo 4

O gráfico de \cos(x) é uma onda periódica de amplitude 1 e período 2\pi.
  • Atinge valor máximo 1 em x=2k\pi.
  • Cruza o eixo y=0 em x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi.
  • Atinge valor mínimo -1 em x=\pi+2k\pi.
    Em um ciclo típico de 0 a 2\pi, o gráfico sai de (0,1), decresce até (\pi, -1) e retorna a (2\pi,1).

Passo 5

Para a derivada, lembramos que
\frac{d}{dx}\cos(x) = -\sin(x).
Portanto,
y'(x) = -\sin(x).

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: [-1,1]
Gráfico: onda periódica de amplitude 1 e período 2\pi, com máximos em x=2k\pi, zeros em x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi e mínimos em x=\pi+2k\pi.
Derivada: y'(x)=-\sin(x).

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