Forneça o domínio, a imagem, e o gráfico das funções abaixo. Em seguida calcule as derivadas das respectivas funções.
y(x)=\tan (x)

Passo 1

O enunciado pede para a função y(x)=\tan(x) que forneçamos:
– o domínio;
– a imagem (ou contradomínio efetivo);
– um esboço do gráfico;
– e a derivada y'(x).
Conteúdo: propriedades de funções trigonométricas e derivação de razão trigonométrica.

Passo 2

Para achar o domínio de \tan(x) recordamos que
\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}
logo ela só está definida quando \cos(x)\neq0. As soluções de \cos(x)=0 são
x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Assim o domínio é
\{\,x\in\mathbb{R}\mid x\neq \tfrac{\pi}{2}+k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}\}.
A imagem de \tan(x) é todo o conjunto dos reais, pois, em cada ramo entre assíntotas, \tan(x) varre de -\infty a +\infty. Logo a imagem é \mathbb{R}.

Passo 3

Esboço qualitativo do gráfico de \tan(x):
Para cada intervalo aberto
\Bigl(\tfrac{\pi}{2}+k\pi,\\ \tfrac{\pi}{2}+(k+1)\pi\Bigr)
a curva é contínua, estritamente crescente, passa por zero em x=k\pi e tem assíntotas verticais em x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi. O período é \pi. Entre duas assíntotas consecutivas o gráfico parte de -\infty, cruza a origem do ramo no ponto \bigl(k\pi,0\bigr) e sobe até +\infty. Esse padrão se repete para todo k\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Para derivar \tan(x) usamos a regra do quociente ou lembramos a identidade
\frac{d}{dx}\tan(x)=\operatorname{sec}^2(x).
Portanto
y'(x)=\operatorname{sec}^2(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}.

Resposta

Domínio:
\{\,x\in\mathbb{R}\mid x\neq \tfrac{\pi}{2}+k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}\}.
Imagem: \mathbb{R}.
Gráfico:
Função periódica de período \pi com assíntotas verticais em x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi; em cada ramo é contínua, estritamente crescente, vai de -\infty a +\infty e cruza o eixo em x=k\pi.
Derivada:
y'(x)=\operatorname{sec}^2(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}.

Exercícios relacionados