Forneça o domínio, a imagem, e o gráfico das funções abaixo. Em seguida calcule as derivadas das respectivas funções.
Passo 1
O enunciado pede para a função
que forneçamos:
– o domínio;
– a imagem (ou contradomínio efetivo);
– um esboço do gráfico;
– e a derivada .
Conteúdo: propriedades de funções trigonométricas e derivação de razão trigonométrica.
– o domínio;
– a imagem (ou contradomínio efetivo);
– um esboço do gráfico;
– e a derivada
Conteúdo: propriedades de funções trigonométricas e derivação de razão trigonométrica.
Passo 2
Para achar o domínio de
recordamos que
logo ela só está definida quando
. As soluções de
são
Assim o domínio é
A imagem de
é todo o conjunto dos reais, pois, em cada ramo entre assíntotas,
varre de
a
. Logo a imagem é
.
Passo 3
Esboço qualitativo do gráfico de
:
Para cada intervalo aberto
Para cada intervalo aberto
a curva é contínua, estritamente crescente, passa por zero em
e tem assíntotas verticais em
. O período é
. Entre duas assíntotas consecutivas o gráfico parte de
, cruza a origem do ramo no ponto
e sobe até
. Esse padrão se repete para todo
.
Passo 4
Para derivar
usamos a regra do quociente ou lembramos a identidade
Portanto
Resposta
Domínio:
Imagem:
.
Gráfico:
Função periódica de período com assíntotas verticais em
; em cada ramo é contínua, estritamente crescente, vai de
a
e cruza o eixo em
.
Função periódica de período
Derivada: