Forneça o domínio, a imagem, e o gráfico das funções abaixo. Em seguida calcule as derivadas das respectivas funções.
y(x)=\sin (x)

Passo 1

O enunciado pede que, para a função y(x)=\sin(x), a) identifiquemos o domínio, b) a imagem, c) descrevamos seu gráfico e d) calculemos a derivada. O conteúdo envolvido é função trigonométrica e regras básicas de derivação.

Passo 2

O seno está definido para todo número real. Logo, o domínio de y(x)=\sin(x) é \mathbb{R}.

Passo 3

Sabemos que \sin(x) varia entre -1 e 1. Portanto, a imagem de y(x)=\sin(x) é
[-1,\,1].

Passo 4

O gráfico de y=\sin(x) é uma onda senoidal com as seguintes características principais:
  • amplitude 1, pois oscila de -1 a 1;
  • período 2\pi, pois \sin(x+2\pi)=\sin(x);
  • zeros em x=k\pi para k\in\mathbb{Z};
  • máximos locais iguais a 1 em x=\tfrac\pi2+2k\pi;
  • mínimos locais iguais a -1 em x=\tfrac{3\pi}{2}+2k\pi.
    Em cada intervalo de comprimento 2\pi o gráfico sobe de 0 até 1, desce até -1 e volta a 0.

Passo 5

Para derivar usamos a regra padrão de trigonometria: a derivada de \sin(x) é \cos(x). Logo,
y'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(\sin(x)\bigr)=\cos(x).

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: [-1,1]
Gráfico: onda senoidal de amplitude 1 e período 2\pi, com zeros em x=k\pi, máximos em x=\tfrac\pi2+2k\pi valendo 1 e mínimos em x=\tfrac{3\pi}{2}+2k\pi valendo -1.
Derivada: y'(x)=\cos(x).

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