Forneça o domínio, a imagem, e o gráfico das funções abaixo. Em seguida calcule as derivadas das respectivas funções.
Passo 1
O enunciado pede que, para a função
, a) identifiquemos o domínio, b) a imagem, c) descrevamos seu gráfico e d) calculemos a derivada. O conteúdo envolvido é função trigonométrica e regras básicas de derivação.
Passo 2
O seno está definido para todo número real. Logo, o domínio de
é
Passo 3
Sabemos que
varia entre
e
. Portanto, a imagem de
é
Passo 4
O gráfico de
é uma onda senoidal com as seguintes características principais:
- amplitude
, pois oscila de a ; - período
, pois ; - zeros em
para ; - máximos locais iguais a
em ; - mínimos locais iguais a
em .
Em cada intervalo de comprimentoo gráfico sobe de 0 até 1, desce até e volta a 0.
Passo 5
Para derivar usamos a regra padrão de trigonometria: a derivada de
é
. Logo,
Resposta
Domínio:
Imagem:
Gráfico: onda senoidal de amplitude e período
, com zeros em
, máximos em
valendo
e mínimos em
valendo
.
Derivada: .
Imagem:
Gráfico: onda senoidal de amplitude
Derivada: