Forneça o domínio, a imagem, e o gráfico das funções abaixo. Em seguida calcule as derivadas das respectivas funções.
y(x)=|x|

Passo 1

O enunciado pede, para a função y(x)=|x|, que a gente encontre o domínio, a imagem, apresente o gráfico e, por fim, calcule a derivada. O conteúdo aqui é representação de valor absoluto como função piecewise e diferenciação de funções definidas por partes.

Passo 2

Para achar o domínio de y(x)=|x|, note que o valor absoluto está bem definido para todo número real x. Portanto, \text{Domínio} = \mathbb{R}.í

Passo 3

Para determinar a imagem (valor de saída) de y(x)=|x|, observe que |x|\ge0 para todo x. Logo,
\text{Imagem} = [0,\infty).

Passo 4

O gráfico de y(x)=|x|\) é dado pelas duas retas: \[y(x)= \begin{cases} -x, & x<0,\\\ \;x, & x\ge0. \end{cases}
Ou seja, é um “V” com vértice na origem. Para x<0\] a reta tem inclinação \(-1 e para x>0 a reta tem inclinação +1.

Passo 5

Para calcular a derivada, usamos a definição de derivada em cada ramo:
– Se x<0, então y(x)=-x e
y'(x)=\frac{d}{dx}(-x)=-1.
– Se x>0, então y(x)=x e
y'(x)=\frac{d}{dx}(x)=1.
No ponto x=0 há um “canto” (cusp), então a derivada não existe em x=0.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}\) Imagem: \([0,\infty)\) Gráfico: \[y(x)= \begin{cases} -x, & x<0,\\\ \;x, & x\ge0, \end{cases}
que forma um “V” com vértice em ((0,0)].
Derivada:
y'(x)= \begin{cases} -1, & x<0,\\\ \text{não existe}, & x=0,\\\ \;1, & x>0. \end{cases}ã

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