Forneça um exemplo de cada caso a seguir (diferente dos dados na sala de aula).
Uma operação binária que seja comutativa mas não seja associativa.
Sug: Procure operações em conjuntos pequenos (de três ou quatro elementos).

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de operação binária que seja comutativa mas não associativa.
Conteúdo que vamos usar: definição de operação binária em um conjunto finito, comutatividade (para todo x,y, xcirc y=ycirc x) e associatividade (para todo x,y,z, (xcirc y)circ z = xcirc(ycirc z)). Para mostrar não associatividade basta encontrar um contraexemplo.

Passo 2

Escolhemos o conjunto
e definimos pela tabela de Cayley abaixo:

Passo 3

Verificamos a comutatividade vendo que a tabela é simétrica em relação à diagonal principal. Por exemplo,
acirc b = c = bcirc a, bcirc c = b = ccirc b, acirc c = b = ccirc a,
e claro xcirc x está bem definido para todo xin S. Logo circ é comutativa.

Passo 4

Agora exibimos um contraexemplo à associatividade. Tomemos x=b, y=b, z=c.
(bcirc b)circ c = acirc c = b,
mas
bcirc(bcirc c) = bcirc b = a
Como b neq a, (bcirc b)circ c neq bcirc(bcirc c), logo circ não é associativa.

Resposta

A operação no conjunto dada pela tabela
é comutativa, mas não satisfaz , portanto não é associativa.

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