Forneça um exemplo de cada caso a seguir (diferente dos dados na sala de aula).
Uma operação binária que seja comutativa mas não seja associativa.
Sug: Procure operações em conjuntos pequenos (de três ou quatro elementos).
Uma operação binária que seja comutativa mas não seja associativa.
Sug: Procure operações em conjuntos pequenos (de três ou quatro elementos).
Passo 1
O enunciado pede um exemplo de operação binária que seja comutativa mas não associativa.
Conteúdo que vamos usar: definição de operação binária em um conjunto finito, comutatividade (para todo ,
) e associatividade (para todo
,
). Para mostrar não associatividade basta encontrar um contraexemplo.
Conteúdo que vamos usar: definição de operação binária em um conjunto finito, comutatividade (para todo
Passo 2
Escolhemos o conjunto
e definimos
pela tabela de Cayley abaixo:
Passo 3
Verificamos a comutatividade vendo que a tabela é simétrica em relação à diagonal principal. Por exemplo,
e claro
está bem definido para todo
. Logo
é comutativa.
Passo 4
Agora exibimos um contraexemplo à associatividade. Tomemos
,
,
.
mas
Como
,
, logo
não é associativa.
Resposta
A operação
no conjunto
dada pela tabela
é comutativa, mas não satisfaz
, portanto não é associativa.