Seja *: A times A A uma operação associativa. Dado a in A defina uma nova operação binária
circ: A times A & A (x, y) & mapsto(x * a) * y
Prove que se * é comutativa então circ é comutativa.

Passo 1

O enunciado diz que *:Atimes Ato A é associativa e define uma nova operação
circ: Atimes Ato A, (x,y)mapsto xcirc y=(x * a)*y
Queremos usar associatividade e comutatividade de * para mostrar que circ fica comutativa.

Passo 2

Para provar que circ é comutativa basta verificar que, para todo x,yin A,
xcirc y = ycirc x

Passo 3

Começamos manipulando xcirc y até chegar a uma forma simétrica:
(x * a) * y ;xlon>=ualassoc; x * (a * y) ;xlon>=ualcomut; x * (y * a) ;xlon>=ualassoc; (x * y) * a

Passo 4

Agora permutamos x e y e reorganizamos para obter ycirc x:
(x * y) * a ;xlon>=ualcomut; (y * x) * a ;xlon>=ualassoc; y * (x * a) ;xlon>=ualcomut; (y * a) * x ;=; ycirc x
Isso mostra que xcirc y=ycirc x para todo x,y.

Resposta

A operação circ é comutativa.

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