Seja
uma operação associativa. Dado
defina uma nova operação binária
Prove que se
é comutativa então
é comutativa.
Passo 1
O enunciado diz que
é associativa e define uma nova operação
Queremos usar associatividade e comutatividade de
para mostrar que
fica comutativa.
Passo 2
Para provar que
é comutativa basta verificar que, para todo
,
Passo 3
Começamos manipulando
até chegar a uma forma simétrica:
Passo 4
Agora permutamos
x e
y e reorganizamos para obter
ycirc x :
Isso mostra que
xcirc y=ycirc x para todo
x,y .
Resposta
A operação
circ é comutativa.