Seja *: A times A A uma operação associativa. Dizemos que a, b in A comutam se a * b=b * a. Dados a, b, c in A, suponha que a comuta com b e c. Prove que a comuta com b * c.

Passo 1

O enunciado considera uma operação binária *:Atimes Ato A que é associativa. Dizemos que x,yin A comutam se
x*y = y*x
Aqui temos a,b,cin A tais que a comuta com b e a comuta com c. Nosso objetivo é mostrar que a comuta com b*c, ou seja,
a*(b*c) = (b*c)*a

Passo 2

Começamos pela expressão à esquerda do que queremos provar. Pela associatividade de *, temos
a*(b*c) = (a*b)*c

Passo 3

Como a comuta com b, vale a*b = b*a. Logo,
(a*b)*c = (b*a)*c

Passo 4

Novamente usando associatividade, agrupamos primeiro b com (a*c):
(b*a)*c = b*(a*c)
E como a comuta com c, substituímos a*c por c*a:
b*(a*c) = b*(c*a)

Passo 5

Finalmente, pela associatividade, temos
b*(c*a) = (b*c)*a
Portanto juntando tudo:
a*(b*c) = (b*c)*a,
o que mostra que a comuta com b*c.

Resposta

Como mostramos que ;a*(b*c)=(b*c)*a, concluímos que a comuta com b*c.

Exercícios relacionados