Seja
uma operação associativa. Dizemos que
comutam se
. Dados
, suponha que
comuta com
e
. Prove que
comuta com
.
Passo 1
O enunciado considera uma operação binária
que é associativa. Dizemos que
comutam se
Aqui temos
tais que
comuta com
e
comuta com
. Nosso objetivo é mostrar que
comuta com
, ou seja,
Passo 2
Começamos pela expressão à esquerda do que queremos provar. Pela associatividade de
, temos
Passo 3
Como
comuta com
, vale
. Logo,
Passo 4
Novamente usando associatividade, agrupamos primeiro
com
:
E como
comuta com
, substituímos
por
:
Passo 5
Finalmente, pela associatividade, temos
Portanto juntando tudo:
o que mostra que
comuta com
.
Resposta
Como mostramos que
, concluímos que
comuta com
.