Forneça uma matriz 2 \times 2 não diagonal que seja igual a sua própria inversa.

Passo 1

Queremos uma matriz 2\times2, não diagonal, que satisfaça
A^{-1} = A.
Como em geral A^{-1}=A implica A^2=I, precisamos de uma matriz involutiva A^2=I e que tenha pelo menos um elemento fora da diagonal principal diferente de zero.

Passo 2

Uma escolha simples é a matriz de permutação que troca as coordenadas. Definimos
A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\\\ 1 & 0 \end{pmatrix},
que claramente não é diagonal.

Passo 3

Vamos calcular o quadrado de A:
A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1\\\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1\\\\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cdot0 + 1\cdot1 & 0\cdot1 + 1\cdot0\\\\ 1\cdot0 + 0\cdot1 & 1\cdot1 + 0\cdot0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I.

Passo 4

Como A^2=I e A é invertível, segue que
A^{-1}=A.

Resposta

\begin{pmatrix} 0 & 1\\\\ 1 & 0 \end{pmatrix}

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