Forneça uma parametrização para a superfície S em cada um dos casos abaixo:
S é a parte da esfera x^{2}-4 x+y^{2}+z^{2}=0 entre os planos x=1 e x=3.

Passo 1

O enunciado pede para parametrizar a parte da esfera
x^{2}-4x+y^{2}+z^{2}=0
contida entre os planos x=1 e x=3.
O conteúdo é parametrização de superfície: vamos primeiro passar a equação da esfera para a forma canônica e em seguida escolher parâmetros que descrevam cada seção circular obtida ao fixar x.

Passo 2

Completemos o quadrado em x:
x^{2}-4x+y^{2}+z^{2}=0 \;\Longrightarrow\; (x-2)^{2}-4+y^{2}+z^{2}=0 \;\Longrightarrow\; (x-2)^{2}+y^{2}+z^{2}=4.
Assim, trata-se de uma esfera de centro (2,0,0) e raio 2.

Passo 3

Para um valor fixo x entre 1 e 3, a interseção com a esfera é o círculo
y^{2}+z^{2}=4-(x-2)^{2}.
Logo, a cada x\in[1,3] corresponde um círculo de raio
r(x)=\sqrt{4-(x-2)^{2}}.

Passo 4

Escolhemos como parâmetros
u = x,\quad v = \theta,
onde
u\in[1,3], \qquad \theta\in[0,2\pi].
Em cada (u,\theta) definimos
y = r(u)\cos\theta, \qquad z = r(u)\sin\theta
com r(u)=\sqrt{4-(u-2)^{2}}. Assim obtemos a parametrização
\mathbf{r}(u,\theta) =\bigl(u,\;r(u)\cos\theta,\;r(u)\sin\theta\bigr) =\Bigl(u,\;\sqrt{4-(u-2)^{2}}\cos\theta,\;\sqrt{4-(u-2)^{2}}\sin\theta\Bigr).

Resposta

A parametrização da superfície S é
\mathbf{r}(u,\theta) =\Bigl(u,\;\sqrt{4-(u-2)^{2}}\cos\theta,\;\sqrt{4-(u-2)^{2}}\sin\theta\Bigr),
com domínio
1 \le u \le 3, \quad 0 \le \theta \le 2\pi.

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