Utilize o teorema de De Moivre para expressar as funções trigonométricas nos Exercícios 15 e 16 em termos de
\cos \theta e sen \theta.
\cos 4 \theta

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teorema de De Moivre e escrever \cos4\theta em termos de \cos\theta e \sin\theta. Vamos aplicar
(\cos\theta + i\sin\theta)^4 = \cos4\theta + i\sin4\theta
para extrair a parte real.

Passo 2

Expandimos o binômio
(\cos\theta + i\sin\theta)^4 = \cos^4\theta +4\,i\cos^3\theta\sin\theta -6\,\cos^2\theta\sin^2\theta -4\,i\cos\theta\sin^3\theta +\sin^4\theta.

Passo 3

A parte real dessa expansão é
\cos4\theta = \cos^4\theta -6\,\cos^2\theta\,\sin^2\theta +\sin^4\theta.

Resposta

\cos4\theta = \cos^4\theta \;-\;6\,\cos^2\theta\,\sin^2\theta\;+\;\sin^4\theta.

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