Forneça uma parametrização para a superfície S em cada um dos casos abaixo:
S é a parte do plano x+y=4 limitada pelo cilindro y^{2}+z^{2}=1.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos parametrizar a parte da superfície do plano
x + y = 4
que fica “cortada” pelo cilindro
y^2 + z^2 = 1.
Conteúdo: parametrização de superfícies em \mathbb{R}^3. Vamos usar como parâmetros as coordenadas no plano y z.

Passo 2

Escolha dos parâmetros: seja \displaystyle r o raio no plano y z (variando de 0 a 1)
e \displaystyle \theta o ângulo polar (variando de 0 a 2\pi).
Então definimos
y = r\cos\theta, \quad z = r\sin\theta,
porque a região interior do cilindro é exatamente \{(y,z)\mid y^2+z^2 \le 1\}.

Passo 3

Expressão de x no plano: como x+y=4, temos
x = 4 - y = 4 - r\cos\theta.

Passo 4

Construção da parametrização \mathbf r(r,\theta):
\mathbf r(r,\theta) = \bigl(x(r,\theta),\,y(r,\theta),\,z(r,\theta)\bigr) = \bigl(4 - r\cos\theta,\;r\cos\theta,\;r\sin\theta\bigr),
com domínio
0 \le r \le 1, \quad 0 \le \theta \le 2\pi.

Resposta

\boxed{ \mathbf r(r,\theta) = \bigl(4 - r\cos\theta,\;r\cos\theta,\;r\sin\theta\bigr), \quad 0 \le r \le 1,\; 0 \le \theta \le 2\pi. }

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