Forneça a(s) derivada(s) parcial(is) indicada(s) a seguir.
f(x, y)=x^{2} \operatorname{sen}(y)+y^{2} \cos (x) ; f_{x x} e f_{y x}.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^{2}\sin(y)+y^{2}\cos(x)
e pede as derivadas parciais \,f_{xx}\, e \,f_{yx}\,.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função depende de x e y.
  • Precisamos da segunda derivada parcial em relação a x duas vezes: \,f_{xx}=\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}\,.
  • Precisamos da derivada mista \,f_{yx}=\dfrac{\partial}{\partial x}\!\left(\dfrac{\partial f}{\partial y}\right)\, (ou seja, primeiro derivamos em y e depois em x).

Passo 2

Relembrando regras básicas (explicação didática, sem pular etapas):
  • Derivada parcial em relação a x: ao derivar, trate y como constante. Analogamente, ao derivar em relação a y, trate x como constante.
  • Derivada de potência: \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
  • Derivada de seno e cosseno: \dfrac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x) e \dfrac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x).
  • Regra do produto (quando necessário): \dfrac{\partial}{\partial x}[u(x,y)\,v(x,y)]=u_x v+u v_x.
    Aplicando essas regras passo a passo conseguiremos as derivadas pedidas.

Passo 3

Calcular a derivada parcial de primeira ordem \,f_x=\dfrac{\partial f}{\partial x}\,, porque é útil tanto para f_{xx} quanto para verificar mistos.
Derivando termo a termo:
  • Para x^{2}\sin(y): como \sin(y) é função só de y, é constante ao derivar em x. Então
\dfrac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}\sin(y)\big)=\sin(y)\cdot\dfrac{d}{dx}(x^{2})=\sin(y)\cdot 2x=2x\sin(y).
  • Para y^{2}\cos(x): aqui y^{2} é constante ao derivar em x, e \dfrac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x). Assim
\dfrac{\partial}{\partial x}\big(y^{2}\cos(x)\big)=y^{2}\cdot(-\sin(x))=-y^{2}\sin(x).
Somando os dois termos,
f_x=2x\sin(y)-y^{2}\sin(x).

Passo 4

Agora calculamos \,f_{xx}=\dfrac{\partial}{\partial x}(f_x).
Partindo de f_x=2x\sin(y)-y^{2}\sin(x), derivamos termo a termo:
  • \dfrac{\partial}{\partial x}\big(2x\sin(y)\big)=2\sin(y), porque \sin(y) é constante e \dfrac{d}{dx}(2x)=2.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}\big(-y^{2}\sin(x)\big)=-y^{2}\cos(x), pois y^{2} é constante e \dfrac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x).
    Portanto
f_{xx}=2\sin(y)-y^{2}\cos(x).

Passo 5

Para obter \,f_{yx}\, precisamos primeiro da derivada parcial \,f_y=\dfrac{\partial f}{\partial y}\,.
Derivando a função original termo a termo em relação a y:
  • \dfrac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}\sin(y)\big)=x^{2}\cos(y), porque x^{2} é constante e \dfrac{d}{dy}\sin(y)=\cos(y).
  • \dfrac{\partial}{\partial y}\big(y^{2}\cos(x)\big)=\cos(x)\cdot\dfrac{d}{dy}(y^{2})=\cos(x)\cdot 2y=2y\cos(x).
    Somando,
f_y=x^{2}\cos(y)+2y\cos(x).

Passo 6

Agora calculamos \,f_{yx}=\dfrac{\partial}{\partial x}(f_y).
Partindo de f_y=x^{2}\cos(y)+2y\cos(x), derivamos em x:
  • \dfrac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}\cos(y)\big)=2x\cos(y), porque \cos(y) é constante ao derivar em x.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}\big(2y\cos(x)\big)=2y\cdot(-\sin(x))=-2y\sin(x), pois 2y é constante e \dfrac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x).
    Somando os dois termos,
f_{yx}=2x\cos(y)-2y\sin(x).

Resposta

f_{xx}=2\sin(y)-y^{2}\cos(x)
f_{yx}=2x\cos(y)-2y\sin(x)

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