Forneça a(s) derivada(s) parcial(is) indicada(s) a seguir.
e
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede as derivadas parciais
e
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função depende de
e . - Precisamos da segunda derivada parcial em relação a
duas vezes: . - Precisamos da derivada mista
(ou seja, primeiro derivamos em e depois em ).
Passo 2
Relembrando regras básicas (explicação didática, sem pular etapas):
- Derivada parcial em relação a
: ao derivar, trate como constante. Analogamente, ao derivar em relação a , trate como constante. - Derivada de potência:
. - Derivada de seno e cosseno:
e . - Regra do produto (quando necessário):
.
Aplicando essas regras passo a passo conseguiremos as derivadas pedidas.
Passo 3
Calcular a derivada parcial de primeira ordem
, porque é útil tanto para
quanto para verificar mistos.
Derivando termo a termo:
Derivando termo a termo:
- Para
: como é função só de , é constante ao derivar em . Então
- Para
: aqui é constante ao derivar em , e . Assim
Somando os dois termos,
Passo 4
Agora calculamos
.
Partindo de , derivamos termo a termo:
Partindo de
-
, porque é constante e . -
, pois é constante e .
Portanto
Passo 5
Para obter
precisamos primeiro da derivada parcial
.
Derivando a função original termo a termo em relação a :
Derivando a função original termo a termo em relação a
-
, porque é constante e . -
.
Somando,
Passo 6
Agora calculamos
.
Partindo de , derivamos em
:
Partindo de
-
, porque é constante ao derivar em . -
, pois é constante e .
Somando os dois termos,