Ache a equação da reta tangente à curva de interseção da superficie x^{2}+2 y^{2}+z=10 com o plano x=2, no ponto (2,1,4).

Passo 1

O que o enunciado dá e o que ele pede:
  • Dá a superfície x^{2}+2y^{2}+z=10.
  • Dá o plano x=2.
  • Dá o ponto (2,1,4) que pertence à curva de interseção entre a superfície e o plano.
  • Pede a equação da reta tangente à curva resultante dessa interseção, no ponto (2,1,4).
Informações relevantes explicitadas (apenas listadas, sem resolver ainda):
  • A curva procurada é C=S\cap P, onde S:\\ x^{2}+2y^{2}+z=10 e P:\\ x=2.
  • No plano x=2 a curva pode ser descrita por uma relação entre y e z (pois x fica fixo).
  • A reta tangente passa por (2,1,4) e tem direção dada pelo vetor tangente da curva naquele ponto.

Passo 2

Escolher uma forma simples de representar a curva localmente: como x é fixo pelo plano P, use y como parâmetro local. Vamos escrever z em função de y substituindo x=2 na equação da superfície.
Substituindo x=2 em x^{2}+2y^{2}+z=10 obtemos:
4+2y^{2}+z=10.
Isolando z:
z=10-4-2y^{2}=6-2y^{2}.
Portanto, numa vizinhança do ponto dado a curva pode ser parametrizada por y como variável livre.

Passo 3

Montar a parametrização da curva usando t para representar y (isso facilita derivar). Defina o parâmetro t por t=y. A parametrização é:
\mathbf{r}(t)=\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr)=\bigl(2,\\ t,\\\ 6-2t^{2}\bigr).
Verificação no ponto: para t=1 temos \mathbf{r}(1)=(2,1,6-2)= (2,1,4), que é o ponto dado — bom, a parametrização passa pelo ponto.

Passo 4

Encontrar o vetor tangente à curva como derivada da parametrização em relação a t. Calcule \mathbf{r}'(t):
\mathbf{r}'(t)=\bigl(0,\\\ 1,\\ \frac{d}{dt}(6-2t^{2})\bigr)=\bigl(0,\\\ 1,\\\ -4t\bigr).
Avalie em t=1 (o parâmetro correspondente ao ponto (2,1,4)):
\mathbf{r}'(1)=(0,\\\ 1,\\\ -4).
Esse vetor é um vetor diretor da reta tangente no ponto. Intuição: a componente 0 em x faz sentido porque a curva está contida no plano x=2 (não há variação em x).

Passo 5

Explicar rapidamente por que esse procedimento funciona (mini-aula): quando uma curva é dada como interseção de duas superfícies, uma forma prática de obter a reta tangente é parametrizar a curva por uma variável livre (aqui y) — isso expressa cada coordenada como função do parâmetro. A derivada da parametrização no ponto dá um vetor que aponta na direção da curva naquele ponto; esse vetor é tangentemente colinear à reta tangente. Outra abordagem equivalente (mais conceitual) é usar os gradientes das superfícies: o vetor tangente é ortogonal aos vetores normais das duas superfícies, logo é proporcional ao produto vetorial \nabla F\times\nabla G. Se quiser, posso mostrar esse cálculo e confirmar que dá o mesmo vetor diretor.

Passo 6

Construir a equação da reta a partir do ponto e do vetor diretor. Usando o parâmetro s para a reta (não confundir com t da curva), a forma vetorial da reta tangente é
\ell(s)=(2,1,4)+s(0,1,-4).
Isso ainda é uma expressão intermediária; a forma final e as formas alternativas (paramétrica e cartesiana) estão na seção de resposta.

Resposta

\text{Equação paramétrica: }x=2,\\ y=1+s,\\ z=4-4s.çãé
\text{Equação cartesiana (como interseção de planos): }x=2,\\\ 4y+z=8.çãçã

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