Ache a equação da reta tangente à curva de interseção da superficie
com o plano
, no ponto
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que ele pede:
- Dá a superfície
. - Dá o plano
. - Dá o ponto
que pertence à curva de interseção entre a superfície e o plano. - Pede a equação da reta tangente à curva resultante dessa interseção, no ponto
.
Informações relevantes explicitadas (apenas listadas, sem resolver ainda):
- A curva procurada é
, onde e . - No plano
a curva pode ser descrita por uma relação entre e (pois fica fixo). - A reta tangente passa por
e tem direção dada pelo vetor tangente da curva naquele ponto.
Passo 2
Escolher uma forma simples de representar a curva localmente: como
é fixo pelo plano
, use
como parâmetro local. Vamos escrever
em função de
substituindo
na equação da superfície.
Substituindo
em
obtemos:
Isolando
:
Portanto, numa vizinhança do ponto dado a curva pode ser parametrizada por
como variável livre.
Passo 3
Montar a parametrização da curva usando
para representar
(isso facilita derivar). Defina o parâmetro
por
. A parametrização é:
Verificação no ponto: para
temos
, que é o ponto dado — bom, a parametrização passa pelo ponto.
Passo 4
Encontrar o vetor tangente à curva como derivada da parametrização em relação a
. Calcule
:
Avalie em
(o parâmetro correspondente ao ponto
):
Esse vetor é um vetor diretor da reta tangente no ponto. Intuição: a componente
em
faz sentido porque a curva está contida no plano
(não há variação em
).
Passo 5
Explicar rapidamente por que esse procedimento funciona (mini-aula): quando uma curva é dada como interseção de duas superfícies, uma forma prática de obter a reta tangente é parametrizar a curva por uma variável livre (aqui
) — isso expressa cada coordenada como função do parâmetro. A derivada da parametrização no ponto dá um vetor que aponta na direção da curva naquele ponto; esse vetor é tangentemente colinear à reta tangente. Outra abordagem equivalente (mais conceitual) é usar os gradientes das superfícies: o vetor tangente é ortogonal aos vetores normais das duas superfícies, logo é proporcional ao produto vetorial
. Se quiser, posso mostrar esse cálculo e confirmar que dá o mesmo vetor diretor.
Passo 6
Construir a equação da reta a partir do ponto e do vetor diretor. Usando o parâmetro
para a reta (não confundir com
da curva), a forma vetorial da reta tangente é
Isso ainda é uma expressão intermediária; a forma final e as formas alternativas (paramétrica e cartesiana) estão na seção de resposta.