Forneça a(s) derivada(s) parcial(is) indicada(s) a seguir.
f(x, y, z)=x^{2} z^{3}+x \ln \left(y z^{2}\right) ; \frac{\partial^{3} f}{\partial y \partial x \partial z}.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y,z)=x^{2}z^{3}+x\ln\!\bigl(yz^{2}\bigr)
e pede a derivada mista de terceira ordem
\frac{\partial^{3} f}{\partial y\,\partial x\,\partial z}.
Isto significa, pela notação usual, aplicar sucessivamente as derivadas nas variáveis da direita para a esquerda: primeiro \partial/\partial z, depois \partial/\partial x e por fim \partial/\partial y. Ou seja, calcular
\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)\right).

Passo 2

Rápida revisão das regras que vou usar (sem pular etapas):
  • Derivada parcial: ao calcular \partial f/\partial z trata-se x e y como constantes e derivar só em relação a z.
  • Regra do produto: \dfrac{d}{dz}\bigl(u(z)v(z)\bigr)=u'(z)v(z)+u(z)v'(z).
  • Regra da cadeia para logaritmo: \dfrac{d}{dz}\ln(g(z))=\dfrac{g'(z)}{g(z)}.
    No termo x\ln(yz^{2}) o fator x é constante quando derivamos em z, e para \ln(yz^{2}) aplico a regra da cadeia com g(z)=yz^{2}.

Passo 3

Calcular a derivada parcial de f em relação a z:
f(x,y,z)=x^{2}z^{3}+x\ln\!\bigl(yz^{2}\bigr).
Derivando termo a termo em z:
Para x^{2}z^{3}, como x é constante,
\frac{\partial}{\partial z}\bigl(x^{2}z^{3}\bigr)=x^{2}\cdot 3z^{2}=3x^{2}z^{2}.
Para x\ln(yz^{2}), o x é constante multiplicativo, e aplicando a cadeia:
\frac{\partial}{\partial z}\ln\!\bigl(yz^{2}\bigr)=\frac{d}{dz}(yz^{2})\cdot\frac{1}{yz^{2}}=\frac{2yz}{yz^{2}}=\frac{2}{z}.
Multiplicando pelo x,
\frac{\partial}{\partial z}\bigl(x\ln(yz^{2})\bigr)=x\cdot\frac{2}{z}=\frac{2x}{z}.
Somando:
\frac{\partial f}{\partial z}=3x^{2}z^{2}+\frac{2x}{z}.

Passo 4

Agora derivar esse resultado em relação a x:
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(3x^{2}z^{2}+\frac{2x}{z}\right).
Trate z como constante.
Para 3x^{2}z^{2}: derivada em x é 3\cdot 2x\cdot z^{2}=6xz^{2}.
Para \dfrac{2x}{z}: como 1/z é constante, a derivada é \dfrac{2}{z}.
Portanto
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)=6xz^{2}+\frac{2}{z}.

Passo 5

Finalmente derivar em relação a y:
\frac{\partial}{\partial y}\!\left(6xz^{2}+\frac{2}{z}\right).
Aqui x e z são tratados como constantes; os termos 6xz^{2} e \dfrac{2}{z} não dependem de y. Logo ambas as derivadas parciais em y são zero, e o resultado é
\frac{\partial^{3} f}{\partial y\,\partial x\,\partial z}=0.

Resposta

0

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