Forneça a(s) derivada(s) parcial(is) indicada(s) a seguir.
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada mista de terceira ordem
Isto significa, pela notação usual, aplicar sucessivamente as derivadas nas variáveis da direita para a esquerda: primeiro
, depois
e por fim
. Ou seja, calcular
Passo 2
Rápida revisão das regras que vou usar (sem pular etapas):
- Derivada parcial: ao calcular
trata-se e como constantes e derivar só em relação a . - Regra do produto:
. - Regra da cadeia para logaritmo:
.
No termoo fator é constante quando derivamos em , e para aplico a regra da cadeia com .
Passo 3
Calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Derivando termo a termo em
:
Para
, como
é constante,
Para
, o
é constante multiplicativo, e aplicando a cadeia:
Multiplicando pelo
,
Somando:
Passo 4
Agora derivar esse resultado em relação a
:
Trate
como constante.
Para
: derivada em
é
.
Para
: como
é constante, a derivada é
.
Portanto
Passo 5
Finalmente derivar em relação a
:
Aqui
e
são tratados como constantes; os termos
e
não dependem de
. Logo ambas as derivadas parciais em
são zero, e o resultado é